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　�。ㄒ唬┙虒W目標

　　1．知識與技能:通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

　　2. 過程與方法:通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律；由學生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的研究。

　　3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生利用學過的知識解決與現(xiàn)實有關(guān)的問題的能力。

　�。ǘ�）教學重、難點

　　重點：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式；學會用公式解決一些實際問題，體會等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。

　　難點：等差數(shù)列前n項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題

　�。ㄈ�）學法與教學用具

　　學法：講練結(jié)合

　　教學用具：投影儀

 

　�。ㄋ模┙虒W設想

　　[創(chuàng)設情景]

　　等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經(jīng)常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學家之一，被譽為“數(shù)學王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時，高斯的數(shù)學老師提出了下面的問題：1+2+3+……+100=？當時，當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050

高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…前100項的和的問題。

　　今天我們就來學習如何去求等差數(shù)列的前n項的和。

　　[探索研究]

我們先來看看人們由高斯求前100個正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，…，n，…的前n項的和：

由   1   +   2   + … + n-1   +  n

     n   +  n-1  + … +  2    +  1   

  （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）

可知

上面這種加法叫“倒序相加法”

　　請同學們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？

　　高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和的。

　　[等差數(shù)列求和公式的教學]

　　一般地，稱為數(shù)列的前n項的和，用表示，即

　　1、  思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。

我們用兩種方法表示：

   ①

②

由①+②，得  

                  

    由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式

對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。

　　2、  除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎教好學生要介紹）

當然，對于等差數(shù)列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如：

   =

                       =

                       =

                       =

　　這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到

引導學生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較。這兩個公式的共同點都是知道和n，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。

 

　　[公式運用]

　　（課本52頁練習1、2）

　　1、  根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列的前n項和S.

⑴

⑵

 

　　[例題分析]

　　例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學實施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

　⑴、先閱讀題目；

　⑵、引導學生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；

�、�、寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解。

　　解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列，表示從2001年起各年投入的資金，其中

                ，     d=50.

　　那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為

                （萬元）

答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.

 

　　例2．已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？

     引導學生分析得到：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關(guān)于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定的關(guān)系式，從而求得。

分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關(guān)于與d的二元一次方程，由此可以求得與d，從而得到所求前n項和的公式.

     解：由題意知          ，

 　　將它們代入公式  

   　　得到   

 　　 解這個關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，

     所以

　　另解：          

得         

               

所以                      ②

    ②-①，得，

    所以        

代入①得：  

所以有      

例題評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.

 

　　例3  已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

解：根據(jù)  

＞

      與    

    可知，當n＞1時，   ①

          當n=1時，   也滿足①式.

          所以數(shù)列的通項公式為.

          由此可知，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列。

 　　這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.已知前n項和，可求出通項

（n＞1）

 

                               

用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的.

　　思考：結(jié)合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列的前n項和為其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是 高中地理，它的首項與公差分別是什么？

引導分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項。

所以得到：如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.

 

　　例4 已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值.

   分析：等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.

   解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以

      

          =

        于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.

　　[隨堂練習]課本52頁“練習”第1、2、3、4題

　　[補充練習]

　　1、已知數(shù)列是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，設成等差數(shù)列嗎？

　　生：分析題意，解決問題.

　　解：設首項是，公差為d

　　　則：

　　　　　　

　　同理可得成等差數(shù)列.

　　2、求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和。

　　　　解由m=100，得

　　　　滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：

　　　　　7，7×2，7×3，7×4，…7×14

　　　　即：7，14，21，28，…98

　　　　這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為其中

　　　　解由m=100，得

　　　滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：

　　　　7，7×2，7×3，7×4，…7×14      即：7，14，21，28，…98

　　　　這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為   其中

　　答：集合m中共有14個元素，它們和等于735

 

　　[課堂小結(jié)] 等差數(shù)列的前n項和的公式和

也成等差數(shù)列.

　　（五）評價設計

　　課本52頁A組第1、3、6

　　思考：課本53頁B組第4題

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaozhong/76330.html

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