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這七個“世界難題”是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊?米爾斯理論、納衛(wèi)爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個問題都被懸賞一百萬美元。

問題提出

數學大師大衛(wèi)?希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開的第二屆世界數學家大會上的著名演講中提出了23個數學難題。希爾伯特問題在過去百年中激發(fā)數學家的智慧，指引數學前進的方向，其對數學發(fā)展的影響和推動是巨大的，無法估量的。

20世紀是數學大發(fā)展的一個世紀。數學的許多重大難題得到完滿解決， 如費馬大定理的證明，有限單群分類工作的完成等， 從而使數學的基本理論得到空前發(fā)展。

2000年初美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。

克雷數學研究所“千年大獎問題”的選定，其目的不是為了形成新世紀數學發(fā)展的新方向， 而是集中在對數學發(fā)展具有中心意義、數學家們夢寐以求而期待解決的重大難題。

2000年5月24日，千年數學會議在著名的法蘭西學院舉行。會上，97年菲爾茲獎獲得者伽沃斯以“數學的重要性”為題作了演講，其后，塔特和阿啼亞公布和介紹了這七個“千年大獎問題”�？死讛祵W研究所還邀請有關研究領域的專家對每一個問題進行了較詳細的詳述。克雷數學研究所對“千年大獎問題”的解決與獲獎作了嚴格規(guī)定。每一個“千年大獎問題”獲得解決并不能立即得獎。任何解決答案必須在具有世界聲譽的數學雜志上發(fā)表兩年后且得到數學界的認可，才有可能由克雷數學研究所的科學顧問委員會審查決定是否值得獲得百萬美元大獎。

其中有一個已被解決(龐加萊猜想，由俄羅斯數學家格里戈里?佩雷爾曼破解)，還剩六個。

“千年大獎問題”公布以來， 在世界數學界產生了強烈反響。這些問題都是關于數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發(fā)展和應用的深化產生巨大推動。認識和研究“千年大獎問題”已成為世界數學界的熱點。不少國家的數學家正在組織聯(lián)合攻關。 “千年大獎問題” 將會改變新世紀數學發(fā)展的歷史進程。

七大難題1.NP完全問題

例：在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。

生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。

人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文?考克于1971年陳述的。

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二十世紀的數學家們發(fā)現(xiàn)了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法�；�本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件�；羝娌孪霐嘌裕瑢τ谒�謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

3。龐加萊猜想

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。