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　　一、教材分析

　　教材的地位和作用

    期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計知識做鋪墊。同時，它在市場預(yù)測，經(jīng)濟統(tǒng)計，風(fēng)險與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

　　教學(xué)重點與難點

　　重點：離散型隨機變量期望的概念及其實際含義。

　　難點：離散型隨機變量期望的實際應(yīng)用。

　　[理論依據(jù)] 本課是一節(jié)概念新授課，而概念本身具有一定的抽象性，學(xué)生難以理解，因此把對離散性隨機變量期望的概念的教學(xué)作為本節(jié)課的教學(xué)重點。此外，學(xué)生初次應(yīng)用概念解決實際問題也較為困難，故把其作為本節(jié)課的教學(xué)難點。

　　二、教學(xué)目標(biāo)

　　[知識與技能目標(biāo)]

通過實例，讓學(xué)生理解離散型隨機變量期望的概念，了解其實際含義。

會計算簡單的離散型隨機變量的期望，并解決一些實際問題。

　　 [過程與方法目標(biāo)]

經(jīng)歷概念的建構(gòu)這一過程，讓學(xué)生進一步體會從特殊到一般的思想，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括等合情推理能力。

通過實際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力和學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

　　[情感與態(tài)度目標(biāo)]

通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度。在學(xué)生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，從而實現(xiàn)自我的價值。

　　三、教法選擇

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法

　　四、學(xué)法指導(dǎo)

“授之以魚，不如授之以漁”，注重發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。

 

　　五、教學(xué)的基本流程設(shè)計

 

　　六、教學(xué)過程

 

教學(xué)內(nèi)容

設(shè)計意圖

 

創(chuàng)

設(shè)

情

境

 

引

入

新

課

[情境一]

某商場要將單價分別為18，24，36 的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如何對混合糖果定價才合理？

 

[情境二]

     若此商場經(jīng)理打算在國慶節(jié)那天在商場外舉行促銷活動，如果不遇到雨天可獲得經(jīng)濟效益10萬元，如果遇到雨天則要損失4萬元，據(jù)9月30日氣象臺預(yù)報國慶節(jié)那天有雨的概率是40%，則此商場平均可獲得經(jīng)濟效益多少元？

 

 

[情境一]和[情境二]中的問題所涉及的是生活中常見的一種商業(yè)現(xiàn)象，問題的生活化可激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲望，同樣這樣的問題也影響學(xué)生的思維方式，學(xué)會用數(shù)學(xué)的視野關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

建

 

構(gòu)

 

概

 

念

 

 

 

 

學(xué)生在未學(xué)習(xí)期望的概念之前解法可能如下：

[情境一]解答：

根據(jù)混合糖果中3種糖果的比例可知在1kg的混合糖果中，3種糖果的質(zhì)量分別是kg， kg和kg，則混合糖果的合理價格應(yīng)該是18×+24×+36×=23（）

 

[情境二]解答：

商場平均可獲經(jīng)濟效益為10×0.6-4×0.4=4.4(萬元)

 

為了將兩個式子中的數(shù)字與隨機變量的取值及其概率建立關(guān)系，歸納出期望的定義。

接著引導(dǎo)學(xué)生分析[情境一]

∵混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等

∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的單價為18，24或36的概率分別為，和，若用表示這顆糖果的價格，則每千克混合糖果的合理價格表示為

18×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36）

分析[情境二]得

商場平均可獲經(jīng)濟效益為10×P（=10）+（-4）×P（=-4）

 

 

 

 

 

 

 

 

這兩個問題的解決將為歸納出期望的定義作鋪墊。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

細(xì)心的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)以上兩式從形式上具有某種相似性，通過比較，歸納出離散型隨機變量期望的定義。

 

歸納是一種重要的推理方法，由具體結(jié)論歸納概括出定義能使學(xué)生的感性認(rèn)識升華到理性認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知方法。

比較兩式、歸納定義

一般地,若離散型隨機變量的概率分布為

 

…

 

…

 

 

…

 

…

 

則稱

為的數(shù)學(xué)期望或均值,數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望。

 

用文字語言描述抽象的數(shù)學(xué)公式

E=·+·+…+·+…

 

即：離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望即為隨機變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加。

 

 

 

 

加深公式記憶

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

理

 

 

 

解

 

 

 

概

 

 

 

念

 

 

 

練習(xí)1：離散型隨機變量的概率分布

1

100

P

0.01

0.99

 

①         求可能取值的算術(shù)平均數(shù)。

②         求的期望。

 

 

 

解答如下

①、可能取值的算術(shù)平均數(shù)為

②、E=1×0.01+100×0.99=99.01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習(xí)2：隨機拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)的期望。

 

結(jié)論：

若

則E=×+×+…+×

       =

 

練習(xí)3：籃球運動員在比賽中每次罰球中得1分，罰不中得0分。已知某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分的均值是多少？

 

當(dāng)學(xué)生求得E=0.7后，

提出問題：均值為0.7分的含義是什么？

 

（讓學(xué)生理解所求得的E=0.7即為罰球1次平均得0.7分.我們也說他只能期望得0.7分.）

 

練習(xí)4:甲、乙兩名射手一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量與,且，的分布列為

1

2

3

P

0.3

0.1

0.6

 

1

2

3

P

0.3

0.4

0.3

 

兩人的技術(shù)情況如何? 請解釋你所得結(jié)論的實際含義?

弄清數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和前提，為了加深學(xué)生對概念的理解，設(shè)置以下4道練習(xí)。

 

其中練習(xí)1是為了讓學(xué)生進一步理解期望是反映隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。

所設(shè)置的兩個問題將學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)而集中到對解題過程的分析，求得答案，進而通過對比，發(fā)現(xiàn)以下兩個結(jié)論

①、隨機變量相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)并不能真正體現(xiàn)的期望。因為取值100的概率比取值1的概率大得多。

②、隨機變量取值的算術(shù)平均數(shù)即為時的期望。

 

練習(xí)2與結(jié)論②相統(tǒng)一，更進一步說明取不同數(shù)值時的概率都相等時，隨機變量的期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)相等。

 

  高一;

 

 

這兩道練習(xí)都是為了進一步理解期望的含義。

 

 

 

 

 

注意事項

①、  區(qū)別與E

隨機變量是可變的，可取不同的值。

而期望E是不變的，由的分布列唯一確定，所以稱之為概率分布的數(shù)學(xué)期望，它反映了取值的平均水平。

 

②、  區(qū)別隨即機變量的期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。

期望表示隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

實

 

 

 

際

 

 

 

應(yīng)

 

 

 

用

 

 

 

 

 

 

 

例1：有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15? 。對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽到次品，但抽查次數(shù)最多不超過10次。求抽查次數(shù)的期望。

 

教師強調(diào)：一般地，在產(chǎn)品抽查中已說明產(chǎn)品數(shù)量很大時，各次抽查結(jié)果可以認(rèn)為是相互獨立的。

解題中注意：取1～10的整數(shù)，前k-1次取到正品，而第k次取到次品的概率是P（=k）=

                          （k=1，2，3，…,9）

P（=10）=

 

解完此例題后歸納求離散型隨機變量期望的步驟：

①、  確定離散型隨機變量的取值。

②、  寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。

③、求出期望。

 

例2：目前由于各種原因，許多人選擇租車代步，租車行業(yè)生意十分興隆，但由于租車者以新手居多，車輛受損事故頻頻發(fā)生。據(jù)統(tǒng)計，一年中一輛車受損的概率為0.03�，F(xiàn)保險公司擬開設(shè)一年期租車保險,一輛車一年的保費為1000元,若在一年內(nèi)該車受損,則保險公司需賠償3000元。

①         一年內(nèi)，一輛車保險公司平均收益多少？

②  一輛車一年的保險費為1000元，若在一年內(nèi)該車受損,則保險公司需賠償元，一年中一輛車受損的概率為0.03，則賠償金至少定為多少元，保險公司才不虧本?

③  若一輛車一年的保險費為元，若在一年內(nèi)該車受損,則保險公司需賠償元，一年中一輛車受損的概率為，則,，應(yīng)滿足什么關(guān)系，保險公司方可盈利。

 

解法一：

    每輛車每年保險公司平均獲利=保險費-賠償費

當(dāng)平均獲利＞0時保險公司方可盈利。

故  即時方可盈利。

解法二：

設(shè)表示盈利數(shù)，則隨機變量的分布列為

∴E= =  即時方可盈利。

生活中蘊涵數(shù)學(xué)知識,數(shù)學(xué)知識又能解決生活中的問題。兩道例題與生活密切聯(lián)系,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活及社會各個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

相對問題3，將具體問題數(shù)字化。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解法二回歸概念本質(zhì)，緊扣應(yīng)用概念解決實際問題。

 

歸

納

總

結(jié)

 

你有哪些收獲？

 

一個概念，兩個注意，三個步驟。

 

讓學(xué)生知道理解概念是關(guān)鍵，掌握公式是前提，實際應(yīng)用是深化。

 

小結(jié)除了注重知識，還注重引導(dǎo)學(xué)生對解題思路和方法的總結(jié)，可切實提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，并讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣。

作業(yè)

基礎(chǔ)題、課后探究題

 

 

　　七、評價分析

　　1、評價學(xué)生學(xué)習(xí)過程

本節(jié)課在情境創(chuàng)設(shè)，例題設(shè)置中注重與實際生活聯(lián)系，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，在教學(xué)中注意觀察學(xué)生是否置身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，是否精神飽滿、興趣濃厚、探究積極，并愿意與老師、同伴交流自己的想法。

 

　　2、評價學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力

教學(xué)中通過學(xué)生回答問題，學(xué)生舉例，歸納總結(jié)等方面反饋學(xué)生對知識的理解、運用，教師根據(jù)反饋信息適時點撥，同時從新課標(biāo)評價理念出發(fā)，鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的觀點、充分質(zhì)疑，并抓住學(xué)生在語言、思想等方面的的亮點給予表揚，樹立自信心，幫助他們積極向上。

 

教學(xué)設(shè)計“說明”

本節(jié)的教學(xué)有如下特點：

　　（1）、注重情境創(chuàng)設(shè)，聯(lián)系生活實際，關(guān)注身邊數(shù)學(xué)。

 

　　（2）、期望概念的教學(xué)是本節(jié)課的重點，本節(jié)突出概念的建構(gòu)，通過實例，引導(dǎo)學(xué)生分析，并歸納出定義；通過練習(xí)，層層遞進，加深學(xué)生對概念的理解，幫助學(xué)生把握概念的本質(zhì)特征，使學(xué)生的思維活起來；通過例題分析，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)期望的意義。本節(jié)課以現(xiàn)實問題引入，以生活中的實例結(jié)束，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaozhong/93975.html

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