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　　天津市第四十二中學(xué) 張鼎言

　　假設(shè)ak>α，由上面的遞推式，用比較法：

　　ak+1-α=--α

　　而α是方程x2+x-1=0的根，

　　∴ak+1-α=->0

　　∴ak+1>α

　　由上數(shù)學(xué)歸納法可證an>α

　　分析(3)由(2)an>α，又an>α>β

　　∴an>β

　　bn=ln-有意義，同理an-β=-(n≥2)

　　bn=ln-

　　=2ln-=2bn-1

　　b1=ln-=2ln-

　　=2ln-

　　=4ln-

　　Sn=-

　　=b1g(2n-1)

　　=(2n+2-4)gln-

　　注：本題的關(guān)鍵是第(2)問(wèn)，通過(guò)an+1-α，不等式比較法，建立了遞推關(guān)系。

　　7. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=-，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…

　　(Ⅰ)寫(xiě)出Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式(n2)，并求Sn關(guān)于n的表達(dá)式；

　　(Ⅱ)設(shè)fn(x)=-xn+1，bn=fn1(p)(p∈R)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

　　解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，(n2)。

　　(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)

　　兩邊同除以n(n-1)，

　　-Sn=-Sn-1+1

　　設(shè)cn=-Sn，

　　cn=cn-1+1，

　　由S1=a1=-，c1=1

　　∴cn=1+(n-1)=n

　　Sn=-

　　(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn

　　bn=npn

　　設(shè)Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)

　　當(dāng)p=0時(shí)，Tn=0

　　p=1時(shí)，

　　Tn=1+2+…+n=-n(n+1)

　　pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)

　　(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1

　　∴Tn=---，(p≠0， p≠1)

　　注：在遞推關(guān)系中，設(shè)cn是關(guān)鍵，從Sn-1→Sn與-→-是同樣的遞推。在遞推中著眼點(diǎn)是關(guān)于n的結(jié)構(gòu)上的一致性。

　　8. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1，n=1，2，3，…

　　(Ⅰ)求a1,a2；

　　(Ⅱ)求{an}的通項(xiàng)公式

　　(Ⅰ)n=1，a1=S1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-；

　　n=2，S2=a1+a2=-+a2，

　　S2-1=a2--，

　　代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，S2=-+-=-；

　　(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0，

　　(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0，Sn?Sn-1-2Sn+1=0

　　以上是把a(bǔ)n轉(zhuǎn)化成Sn，理由是把Sn轉(zhuǎn)換成an走不通，實(shí)際上求出Sn，an也可求出。

　　由S1=-，S2=-，進(jìn)一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用數(shù)字歸納法n=2時(shí)命題成立，假定Sk=-，

　　由關(guān)于Sn的遞推式，

　　Sk+1=-=-=-，

　　∴Sn=-，an=-

　　注：由遞推公式求通項(xiàng)，從特殊到一般，先求出n=1，2，3，…歸納假設(shè)提出猜想，再去證明猜想。

　　9. 已知函數(shù)f(x)=x-sinx，數(shù)列{an}滿足：0

　　證明(Ⅰ)0

　　(Ⅱ)an+1<-an3

　　證明(Ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函數(shù)形式給出的遞推關(guān)系，-，

　　先用數(shù)學(xué)歸納法證明：0

　　n=1由已知0

　　考慮函數(shù)f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx，

　　∵0

　　∴f'(x)>0，f(x)↑

　　f(x)在[0，1]上連續(xù)

　　∴f(0)

　　∴0

　　又∵an+1=f(an)=an-sinan，00，

　　∴an-an+1=sinan>0

　　∴0

　　(Ⅱ)要證an+1<-an3，需證-an3-an+1>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=-x3-x+sinx(0

　　g'(x)=-x2-1+cosx

　　=-x2-2sin2-

　　=2[(-)2-(sin-)2]

　　當(dāng)0<-<-時(shí)，用單位圓易證->sin->0

　　∴g'(x)>0,g(x)↑0

　　∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0

　　-an3>an-sinan=an-1

　　注：本題是以函數(shù)形式確定遞推關(guān)系，把遞推式中項(xiàng)與項(xiàng)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性。

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/xuexi/238676.html

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