江西省安福縣城關(guān)中學(xué) 曹經(jīng)富
“課題學(xué)習(xí)”類試題在近年各地中考試題中頻頻出現(xiàn),此類題型特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、超越常規(guī),源于課本,又高于課本,不僅注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用、動(dòng)手探究的培養(yǎng),還關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程和思想方法的滲透.這類試題較好地考查了學(xué)生的閱讀理解能力、知識遷移能力和分析問題、解決問題的能力,這無疑為課堂教學(xué)注入了新鮮的活力。它既是一項(xiàng)全新的課程內(nèi)容．又是一種具有現(xiàn)實(shí)性、問題性、實(shí)踐性、綜合性和探索性的新型的學(xué)習(xí)活動(dòng)．經(jīng)常成為呈現(xiàn)中考數(shù)學(xué)知識和能力的載體。現(xiàn)結(jié)合2011年各地中考題進(jìn)行說明，希望能給大家?guī)硪欢ǖ膯⑹九c幫助．
一、情景問題拓展類
例1：（2011江蘇鹽城）情境觀察
將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是，∠CAC′=?/SPAN>．
問題探究
如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
拓展延伸
如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
思路點(diǎn)撥：沿矩形的對角線剪開所得的兩個(gè)三角形是全等的，由如圖2中位置及全等關(guān)系可得BC=AD，∠CAC′=90?/SPAN>；在圖3中，當(dāng)?shù)妊黂t△ABE和等腰Rt△ACF的直角頂點(diǎn)重合于直線GP上的點(diǎn)A時(shí)，構(gòu)建了如圖2所示的兩個(gè)直角三角形全等的數(shù)學(xué)模型，即Rt△ABG≌Rt△EAP.Rt△ACG≌Rt△FAQ，進(jìn)而得到AG=EP，AG=FQ，從而得到EP=FQ.在圖4中，當(dāng)背景由等腰直角三角形變?yōu)榫匦螘r(shí)，但矩形的長與寬之比均為k,從而構(gòu)建了如圖2所示的兩直角三角形相似（全等）的數(shù)學(xué)模型，借助相似比及Rt△EPH≌Rt△FQH.容易得出HE=HF。
解：情境觀察AD（或A′D），90
問題探究結(jié)論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90?
∴∠BAG+∠EAP=90?∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90?/SPAN>，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90?/SPAN>，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.
同理AG=FQ.∴EP=FQ.
拓展延伸結(jié)論：HE=HF.理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.
∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90?/SPAN>，
∴∠BAG+∠EAP=90?AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90?/SPAN>，
∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90?/SPAN>，∴△ABG∽△EAP，
∴=.同理△ACG∽△FAQ，∴=.
∵AB=kAE，AC=kAF，∴==k，∴=.∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF
點(diǎn)評：本題以課題學(xué)習(xí)的方式呈現(xiàn)，解決此題的關(guān)鍵在于簡單情景入手，準(zhǔn)確把握相關(guān)圖形的特征與模型，透過現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)活動(dòng)問題的本質(zhì)（直角頂點(diǎn)重合于直線上某一點(diǎn)時(shí)，醞釀與構(gòu)建了兩直角三角形全等或相似關(guān)系），不被“動(dòng)”及“變化的圖形”所迷，關(guān)鍵是在于由特殊到一般、由簡單到復(fù)雜的思維方式，這類試題不僅結(jié)論可以類比，而且思維方法、證明過程及說理過程也可通過類比得出，這種模式應(yīng)引起我們的重視與關(guān)注。
二、閱讀理解類
例5：（2011湖南永州）探究問題：
�、欧椒ǜ形颍�
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45?/SPAN>，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?/SPAN>得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90?
∴∠ABG+∠ABF=90?90?180?/SPAN>，
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．
∵∠EAF=45?nbsp;∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90?45?45?/SPAN>．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45?/SPAN>．
即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
點(diǎn)評：此題以閱讀理解的形式進(jìn)行課題學(xué)習(xí)探究，題目中首先提供某種思路、方法或中間步驟，探討某種情境或特殊情形下的解題思路與方法，然后將其進(jìn)行拓展、推廣到一般情況，進(jìn)一步探究相關(guān)結(jié)論，解答此類問題的基本步驟是閱讀——分析——理解——遷移——?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用。
三、操作探究類
例3：（2011江蘇蘇州）如圖①，小慧同學(xué)吧一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120?/SPAN>，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120?/SPAN>，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）.
小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩端圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和.
小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90?/SPAN>，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90?/SPAN>，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；
點(diǎn)評：本題是一道典型的滾動(dòng)探究與適當(dāng)作圖相結(jié)合的實(shí)踐能力操作題，在解題過程中學(xué)生經(jīng)歷了“問題探究——問題解決”的過程，此類動(dòng)手操作類的課題學(xué)習(xí)試題的解決策略是：通過對給定的信息進(jìn)行分析、整理、研究，借助一定的實(shí)物操作與理性思考，得出一些有價(jià)值的信息與猜想，然后運(yùn)用平時(shí)積累的知識、思想與方法解決問題，得出正確的結(jié)論。
四、課題實(shí)驗(yàn)探究類
例4：（2010江西）課題：兩個(gè)重疊的正多邊型，其中一個(gè)繞某一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題．
實(shí)驗(yàn)與論證
設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1=α（α<A1A0A2），θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如圖所示．
�。�1）用含α的式子表示角的度數(shù)：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）圖1－圖4中，連接A0H時(shí)，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇期中的一個(gè)圖給出證明；若不存在，請說明理由；
歸納與猜想
點(diǎn)評：本題以課題學(xué)習(xí)為背景及方式呈現(xiàn)，通過“兩個(gè)重疊的正多邊形，其中的一個(gè)繞某一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題”的探討．是研究一個(gè)由特殊到一般結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，先從簡單特殊的幾種正多邊形入手，再推廣到正n邊形情形下規(guī)律的探究，這種探究思路和類比遷移的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)引起高度重視與學(xué)習(xí)．
五活動(dòng)探討類
例5:（2011江西）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：
點(diǎn)評:本題以一個(gè)普通角為背景，創(chuàng)設(shè)擺放小棒的數(shù)學(xué)活動(dòng)：搭建直角三角形與等腰三角形，開展課題研究，讓學(xué)生感到熟悉而親切，同學(xué)們都能在一定程度上得分，通過一系列問題的設(shè)問，將初中階段的核心知識（等腰三角形、直角三角形、相似三角形、不等式組等）巧妙融入其中進(jìn)行思考與探究，區(qū)分度與綜合度明顯增強(qiáng)。為此要求我們在日常教學(xué)中，應(yīng)時(shí)刻關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)素材，注重開展與之相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)研究，以提高學(xué)生的分析與探究能力。
課題學(xué)習(xí)類試題通常以探索、研究、實(shí)驗(yàn)操作等不同形式呈現(xiàn)于中考中，并借助恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)素材，作為試題的內(nèi)容和明確的研究方向；或是以幾何圖形為題材，或是以數(shù)學(xué)問題為背景等；通過對相關(guān)問題的描述或逐步觀察、操作（包括數(shù)據(jù)分析、整理、運(yùn)算或作圖、或證明）和歸納、探究等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題，創(chuàng)新問題．試題在注重考查相關(guān)基礎(chǔ)知識、基本技能、方法的同時(shí)，更注重考查對相關(guān)知識的聯(lián)想、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)歸納及創(chuàng)新的能力．是近幾年中考改革中出現(xiàn)的新題型．一般包含：課題的提出、數(shù)學(xué)模型的建立、問題的解決、數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用、醞釀與形成研究問題的方法。（來源：鳳凰數(shù)學(xué)）
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/zhongkao/292976.html
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