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廣西欽州市第二中學(xué)2018年春季學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)17.2勾股定理的逆定理同步測(cè)試卷解析版
一、 選擇題
1. △ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，下列條件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a =（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判斷△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)有（　　）
A．1個(gè)   B．2個(gè)    C．3個(gè)   D．4個(gè)
答案： C．
解析： ①∠A=∠B-∠C，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，故①是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故②不是直角三角形；
③∵a =（b+c）（b-c），∴a +c =b ，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；
④∵a：b：c=5：12：13，∴a +c =b ，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形． 能判斷△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)有3個(gè)；
故選 C．
考點(diǎn)：1.勾股定理的逆定理；2.三角形內(nèi)角和定理．
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且CD=  ，如果Rt△ABC的面積為1，則它的周長(zhǎng)為（　　）
 
A．    B．  +1   C．  +2    D．  +3
答案： D．
解析： ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且CD=  ，
∴AB=2CD=  ．
∴AC 2 +BC 2 =5
又Rt△ABC的面積為1，
∴  ACBC=1，則ACBC=2．
∴（AC+BC） 2 =AC 2 +BC 2 +2ACBC=9，
∴AC+BC=3（舍去負(fù)值），
∴AC+BC+AB=3+  ，即△ABC的周長(zhǎng)是  +3．
故選 D．
考點(diǎn)：1.勾股定理2.直角三角形斜邊上的中線．
3. 如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是（　　）
 
A．  B．  C．2    D． 
答案： A．
解析： 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于
F．
 
設(shè)AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，則∠BAE=30°，
∴BE=  AB=  x，
∴DF=AE=  =  x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，則CF=DFcot30°=  x．
又BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即  x+x+  x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面積是：  ADDF=  x×  x=  ×2 2 =  ．
故選 A．
考點(diǎn)：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是（   ）
A．  B．  C．  D． 
 
答案： A
解析： 根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
 
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根據(jù)勾股定理得：AB=  ，
過(guò)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，
又S △ABC =  ACBC=  ABCD，
∴CD=  ，
則點(diǎn)C到AB的距離是  ．
故選A
考點(diǎn)：1.定理；2.直線的距離；3.形的面積．
5. 如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到大依次記為  、  、  ，則  、  、  的關(guān)系是（　�。�
A．  +  =  　 B．  C．  　 D． 
 
答案： A．
解析： 設(shè)直角三角形各邊長(zhǎng)為2a、2b、2c，如圖所示：
 
∵三角形是直角三角形，
∴（2a） 2 +（2b） 2 =（2c） 2 ，
化簡(jiǎn)得：a 2 +b 2 =c 2 ，
S 1 =  πa 2 ，S 2 =  πb 2 ，S 3 =  πc 2 ；
S 1 +S 2 =  π（a 2 +b 2 ）=  πc 2 =S 3 ．
故選 A．
考點(diǎn)：勾股定理．
6. 如圖，在6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形及其部分對(duì)角線構(gòu)成的圖形中，如圖從A點(diǎn)到B點(diǎn)只能沿圖中的線段走，那么從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法共有（  ）
 
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
答案： C.
解析： 如答圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的走法有若干種，其中，
走法1，2，3的距離是  ；
走法4，5，6的距離是5；
走法7，8，9，10的距離是  .
∵  ，∴走法1，2，3的距離最短.
∴從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法共有3種.
故選C.
 
考點(diǎn)：1.網(wǎng)格問(wèn)題；2.勾股定理的應(yīng)用；3.實(shí)數(shù)的大小比較；4.分類思想的應(yīng)用．
7. 如圖，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于N點(diǎn)，則MN=（ ）
 
A．     B．     C．    D． 
答案： C．
解析： 連接AM，
 
∵AB=AC，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，
∴AM⊥CM，BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根據(jù)勾股定理得：AM=  ，
又S △AMC =  MNAC=  AMMC，
∴MN=  ．
故選 C．
考點(diǎn)：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì)．
8. 如圖，一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從盒外的D點(diǎn)沿正方體的盒壁爬到盒內(nèi)的M點(diǎn)（盒壁的厚度不計(jì)），螞蟻爬行的最短距離是（  ）
 
A．  B．  C．  D． 
答案： D
解析： 利用側(cè)面展開(kāi)圖形成平面圖,
 
由題意得到直角三角形NDM,DN=3,NM=4,因而可求最短路線為MD=  =5.
考點(diǎn)：勾股定理
9. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬，高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度為 （  ）
 
A．115cm B．125 cm C．135cm D．145cm
答案：B
解析： 三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形,長(zhǎng)為100cm,寬為  ,
則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).
可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程為  ,
由勾股定理得  :,
解得：  .故選：B
考點(diǎn)：1.平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題；2.勾股定理.
10. 如圖，一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從盒外的B點(diǎn)沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點(diǎn)，螞蟻爬行的最短距離是 ( )
 
A．  B．  C．1 D． 
答案：B
解析： 根據(jù)已知得出螞蟻從盒外的B點(diǎn)沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點(diǎn)，螞蟻爬行的最短距離是如圖BM的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到A 1 B=2+2=4，A 1 M=1，利用勾股定理求出BM=  ．
故選：B
 
考點(diǎn)：勾股定理
11. 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為10 cm，正方形A的邊長(zhǎng)為6 cm、B的邊長(zhǎng)為5 cm、C的邊長(zhǎng)為5 cm，則正方形D的邊長(zhǎng)為（　　）
 
A．    B．4 cm    C．  　D．3 cm
 解析： 根據(jù)勾股定理，正方形E的邊長(zhǎng)為  ，正方形F的邊長(zhǎng)為  ，正方形D的邊長(zhǎng)為  ．
答案： A
12. 下列三角形中,是直角三角形的是( )
A.三角形的三邊滿足關(guān)系a+b=c   B.三角形的三邊長(zhǎng)分別為3 2 ,4 2 ,5 2
C.三角形的一邊等于另一邊的一半    D.三角形的三邊長(zhǎng)為7,24,25
解析： 要滿足勾股定理逆定理,D中7 2 +24 2 =25 2 .所以選D.
答案： D
二、 填空題
13. 已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和3，則它的面積為　_________�。�
答案： 6或  ．
解析： 設(shè)另一邊長(zhǎng)為x，分4為直角三角形的斜邊與直角邊兩種情況進(jìn)行解答．
解：設(shè)另一邊長(zhǎng)為x，
當(dāng)4為直角三角形的斜邊時(shí)，x=  ，故S=  ×3×  =  ；
當(dāng)4為直角三角形的直角邊時(shí)，S=  ×4×3=6．
故答案為：6或  ．
考點(diǎn)：勾股定理．
14. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為_(kāi)_______________。
 
答案： 45°
解析： 連接AC． 根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=  ，AB=  ，
∵  +  =  ，即AC 2 +BC 2 =AB 2 ，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°
 
考點(diǎn)：1.勾股定理；2.勾股定理的逆定理；3.等腰直角三角形
15. 在△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是_______.
答案： 
解析： 根據(jù)垂線段最短，得到BP⊥AC時(shí)，BP最短，過(guò)A作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，
 
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點(diǎn)，又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根據(jù)勾股定理得：AD=  ，
又∵S △ ABC =  BCAD=  BPAC，
∴BP=  =  =4.8．
故答案為：4.8．
考點(diǎn)：1.勾股定理；2.垂線段最短.
16. 在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm，CA=80cm，一只蝸牛從C點(diǎn)出發(fā)，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路徑再回到C點(diǎn)，需要 分的時(shí)間.
答案：12 本題考查的是勾股定理的應(yīng)用
運(yùn)用勾股定理可求出斜邊AB的長(zhǎng)，然后可求出直角三角形的周長(zhǎng)即蝸牛所走的總路程，再除以蝸牛的行走速度即可求出所需的時(shí)間．
 ，  ，  ，
蝸牛行走的總路程  ，
故所需時(shí)間為  分。
三、 解答題
17. A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．

（1）自己畫(huà)出圖形并解答：A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？

（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？

答案：（1）作圖見(jiàn)解析，A城要受臺(tái)風(fēng)影響，理由見(jiàn)解析；（2）6小時(shí).
解析： （1）點(diǎn)到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，若AC＞200則A城不受影響，否則受影響；
（2）點(diǎn)A到直線BF的長(zhǎng)為200千米的點(diǎn)有兩點(diǎn)，分別設(shè)為D、G，則△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，則C是DG的中點(diǎn)，在Rt△ADC中，解出CD的長(zhǎng)，則可求DG長(zhǎng)，在DG長(zhǎng)的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間．
試題解析：（1）由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，
 
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，則AC=160km，
因?yàn)?60＜200，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；
（2）設(shè)BF上點(diǎn)D，DA=200千米，另一點(diǎn)G，有AG=200千米．
∵DA=AG，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分線，CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
由勾股定理得，
CD=  =120千米，
則DG=2DC=240千米，
遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：t=240÷40=6（小時(shí)）．
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用．
18. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠B=60°，∠C=45°．
（1）求∠BAC的度數(shù)．
（2）若AC=2，求AD的長(zhǎng)．
 
答案： （1）75°；（2）  .
解析： （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可推出∠BAC的度數(shù)；
（2）由題意可知AD=DC，根據(jù)勾股定理，即可推出AD的長(zhǎng)度．
（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°；
（2）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=2，
∴AD=  .
考點(diǎn)：勾股定理．
19. 求如圖所示的RtΔABC的面積。
 
答案：7.5．
解析： 首先利用勾股定理得到三邊關(guān)系，進(jìn)而建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
試題解析：由勾股定理得：（x+4） 2 =36+x 2 ，
解得：x=  ，
所以△ABC的面積=  ×6×  =7.5．
考點(diǎn)：勾股定理．
20. 如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)，當(dāng)它靠在另一側(cè)墻時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．點(diǎn)D到地面的垂直距離DE=  m，求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC．
  
答案：點(diǎn)B到地面的垂直距離BC=  m
解析： 在Rt△DAE中，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=  ．
∴AD 2 =AE 2 +DE 2 =（  ） 2 +（  ） 2 =36，
∴AD=6，即梯子的總長(zhǎng)為6米．
∴AB=AD=6．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=  AB=3，
∴BC 2 =AB 2 AC 2 =6 2 3 2 =27，
∴BC=  =  m，
∴點(diǎn)B到地面的垂直距離BC=  m．
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用
21. 小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。
答案： 12米．
解析：  因?yàn)槠鞐U、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．
試題解析：設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，
根據(jù)勾股定理可得：x 2 +5 2 =（x+1） 2 ，
解得，x=12．
答：旗桿的高度為12米．
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用．