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2013年中考數(shù)學(xué)試題（四川內(nèi)江卷）
（本試卷分A卷（100分）、B卷（60分），滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間120分鐘）
A卷（共100分）
一、（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是【 】
A．－5 B． C．1 D．4
2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是【 】
A． B． C． D．
3．某公司開(kāi)發(fā)一個(gè)新的項(xiàng)目，總投入約11500000000元，11500000000元用科學(xué)記數(shù)法表示為【 】
A．1.15×1010 B．0.115×1011 C．1.15×1011 D．1.15×109
4．把不等式組 的解集表示在數(shù)軸上，下列選項(xiàng)正確的是【 】
A． B． C． D．
5．今年我市有近4萬(wàn)名考生參加中考，為了解這些考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取1000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以下說(shuō)法正確的是【 】
A．這1000名考生是總體的一個(gè)樣本 B．近4萬(wàn)名考生是總體
C．每位考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是個(gè)體 D．1000名學(xué)生是樣本容量
6．把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為【 】

A．125° B．120° C．140° D．130°
7．成渝路內(nèi)江至成都段全長(zhǎng)170千米，一輛小汽車(chē)和一輛客車(chē)同時(shí)從內(nèi)江、成都兩地相向開(kāi)出，經(jīng)過(guò)1小時(shí)10分鐘相遇，小汽車(chē)比客車(chē)多行駛20千米．設(shè)小汽車(chē)和客車(chē)的平均速度為x千米/小時(shí)和y千米/小時(shí)，則下列方程組正確的是【 】
A． B． C． D．
8．如圖，在 ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F， ，則DE：EC=【 】

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
9．若拋物線 與y軸的交點(diǎn)為（0，?3），則下列說(shuō)法不正確的是【 】
A．拋物線開(kāi)口向上 B．拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=1
C．當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值為?4 D．拋物線與x軸的交點(diǎn)為（－1，0），（3，0）

10．同時(shí)拋擲A、B兩個(gè)均勻的小立方體（每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），設(shè)兩立方體朝上的數(shù)字分別為x、y，并以此確定點(diǎn)P（x，y），那么點(diǎn)P落在拋物線 上的概率為【 】
A． B． C． D．
11．如圖，反比例函數(shù) （x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)，分別于AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
12．如圖，半圓O的直徑AB=10c，弦AC=6c，AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為【 】

A． c B． c C． c D．4 c
二、題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．若2－n2=6，且－n=2，則＋n=　 ▲ �。�
14．函數(shù) 中自變量x的取值范圍是　 ▲ �。�
15．一組數(shù)據(jù)3，4，6，8，x的中位數(shù)是x，且x是滿(mǎn)足不等式組 的整數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是　 ▲ �。�
16．已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8，、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則P+PN的最小值=　 ▲ 　．

三、解答題（本大題共5小題，共44分）
17．計(jì)算： ．
18．已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D為AB邊上一點(diǎn)．求證：BD=AE．

19．隨著車(chē)輛的增加，交通違規(guī)的現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重，交警對(duì)某雷達(dá)測(cè)速區(qū)檢測(cè)到的一組汽車(chē)的時(shí)速數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到其頻數(shù)及頻率如表（未完成）：
數(shù)據(jù)段頻數(shù)頻率
30～40100.05
40～5036
50～600.39
60～70
70～80200.10
總計(jì)2001
注：30～40為時(shí)速大于等于30千米而小于40千米，其他類(lèi)同
（1）請(qǐng)你把表中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)完整；
（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）如果汽車(chē)時(shí)速不低于60千米即為違章，則違章車(chē)輛共有多少輛？

20．如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)DE的高度，他們?cè)谶@棵樹(shù)的正前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為60°．已知A點(diǎn)的高度AB為3米，臺(tái)階AC的坡度為 （即AB：BC= ），且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)DE的高度（側(cè)傾器的高度忽略不計(jì)）．

21．某地區(qū)為了進(jìn)一步緩解交通擁堵問(wèn)題，決定修建一條長(zhǎng)為6千米的公路．如果平均每天的修建費(fèi)y（萬(wàn)元）與修建天數(shù)x（天）之間在30≤x≤120，具有一次函數(shù)的關(guān)系，如下表所示．
x506090120
y40383226
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）后來(lái)在修建的過(guò)程中計(jì)劃發(fā)生改變，政府決定多修2千米，因此在沒(méi)有增減建設(shè)力量的情況下，修完這條路比計(jì)劃晚了15天，求原計(jì)劃每天的修建費(fèi)．
　B卷（共60分）
四、題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
22．在△ABC中，已知∠C=90°， ，則 =　 ▲ 　．
23．如圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長(zhǎng)為2c，則正六邊形的中心O運(yùn)動(dòng)的路程為　 ▲ 　c．

24．如圖，已知直線l： ，過(guò)點(diǎn)（2，0）作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)1；過(guò)點(diǎn)1作x軸的垂線交直線l于N1，過(guò)點(diǎn)N1作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)2，…；按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)10的坐標(biāo)為　 ▲ �。�

25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（13，0），直線 與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為　 ▲ �。�
五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）
26．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．
（1）求證：BC平分∠PDB；
（2）求證：BC2=AB•BD；
（3）若PA=6，PC=6 ，求BD的長(zhǎng)．

27．如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．
（1）求△ABC的面積；
（2）設(shè)AD=x，圖形L的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）已知圖形L的頂點(diǎn)均在⊙O上，當(dāng)圖形L的面積最大時(shí)，求⊙O的面積．

28．已知二次函數(shù) （a＞0）的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，x1，x2是方程 的兩根．
（1）若拋物線的頂點(diǎn)為D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函數(shù)的解析式．

123456789101112
CCABCDDBCACA

13. 3
14. 且x≠1
15. 5
16. 5
17. 解：原式= 。
18. 證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE。
∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
∴BD=AE。
19. 解：（1）填表如下：
數(shù)據(jù)段頻數(shù)頻率
30～40100.05
40～50360.18
50～60780.39
60～70560.28
70～80200.10
總計(jì)2001
（2）如圖所示：

（3）違章車(chē)輛數(shù)：56+20=76（輛）。
答：違章車(chē)輛有76輛。
20. 【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于F，則四邊形ABEF為矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3。
設(shè)DE=x，
在Rt△CDE中， ，
在Rt△ABC中，∵ ，AB=3，∴BC= 。
在Rt△AFD中，DF=DE?EF=x?3，
∴ 。
∵AF=BE=BC+CE，∴ 。解得x=9。
答：樹(shù)高為9米。
21. 解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，由題意，得
，解得： 。
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為： （30≤x≤120）。
（2）設(shè)原計(jì)劃要天完成，則增加2k后用了（+15）天，由題意，得
，解并檢驗(yàn)得：=45。
∴
答：原計(jì)劃每天的修建費(fèi)為41萬(wàn)元。
22
23
24. （884736，0）
25. 24
26. 【答案】解：（1）證明：連接OC，
∵PD為圓O的切線，∴OC⊥PD。
∵BD⊥PD，∴OC∥BD。∴∠OCB=∠CBD。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。
∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。
（2）證明：連接AC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°。
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。
∴ ，即BC2=AB•BD。
（3）∵PC為圓O的切線，PAB為割線，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12。
∴AB=PB－PA=12－6=6。∴OC=3，PO=PA+AO=9。
∵△OCP∽△BDP，∴ ，即 。
∴BD=4。
27. 解：（1）如圖1，作AH⊥BC于H，則∠AHB=90°。
∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=3。
∵∠AHB=90°，∴BH= BC= 。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH= 。
∴ 。
（2）如圖2，當(dāng)0＜x≤ 時(shí)， 。
作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。
∴DG=x，AG= 。
∴ 。
如圖3，當(dāng) ＜x＜3時(shí)，作G⊥DE于G，
∵AD=x，∴BD=D=3－x，
∴DG= ，F(xiàn)=N=2x－3，G=
∴ 。
綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 。
（3）當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，
∵a= ＞0，開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，
∴x= 時(shí)， 。
當(dāng) ＜x＜3時(shí)， ，
∵a= ＜0，開(kāi)口向下，∴x=2時(shí)，
∵ ＞ ，∴y最大時(shí)，x=2。
∴DE=2，BD=D=1。
如圖4，作FO⊥DE于O，連接O，E，
∴DO=OE=1�！郉=DO。
∵∠DO=60°，∴△DO是等邊三角形。
∴∠DO=∠DO=60°，O=DO=1。
∴O=OE，∠OE=120°。
∴∠OE=30°。∴∠DE=90°。
∴DE是直徑。
∴ 。
28. 解：（1）解方程 ，得x=－5或x=1，
∵x1＜x2，∴x1=?5，x2=1�！郃（?5，0），B（1，0）。
∴拋物線的解析式為： （a＞0）。
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－2，－9a）。
令x=0，得y=－5a，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，?5a）。
依題意畫(huà)出圖形，如圖所示，
則OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，
則DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。
∴
。
而 ，
∴ 。
（2）如圖所示，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=2與x軸交于點(diǎn)F，則AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2。
∵∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即 ，化簡(jiǎn)得： 。
∵a＞0，∴ 。
∴拋物線的解析式為： ，即 。