2013中考全國100份試卷分類匯編
圓的垂徑定理
1、（2013年濰坊市）如圖，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP：AP=1:5,則CD的長為（ ）.
A. B. C. D.
答案：D．
考點:垂徑定理與勾股定理.
點評：連接圓的半徑，構造直角三角形，再利用勾股定理與垂徑定理解決.
2、(2013年黃石)如右圖，在 中， ， ， ，以點 為圓心， 為半徑的圓與 交于點 ，則 的長為
A. B. C. D.
答案：C
解析：由勾股定理得AB＝5，則sinA＝ ，作CE⊥AD于E，則AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝ ，即 ，所以，CE＝ ，AE＝ ，所以，AD＝
3、(2013河南省)如圖，CD是 的直徑，弦 于點G，直線 與 相切與點D，則下列結論中不一定正確的是【】
（A） （B） ∥
（C）AD∥BC （D）
【解析】由垂徑定理可知：（A）一定正確。由題可知： ，又因為 ，所以 ∥ ，即（B）一定正確。因為 所對的弧是劣弧 ，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可知（D）一定正確。
【答案】C
4、（2013•瀘州）已知⊙O的直徑CD=10c，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為，且AB=8c，則AC的長為（ �。�
A． cB． cC． c或 cD． c或 c
考點：垂徑定理；勾股定理．
專題：分類討論．
分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由于點C的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論．
解答：解：連接AC，AO，
∵⊙O的直徑CD=10c，AB⊥CD，AB=8c，
∴A=AB=×8=4c，OD=OC=5c，
當C點位置如圖1所示時，
∵OA=5c，A=4c，CD⊥AB，
∴O= = =3c，
∴C=OC+O=5+3=8c，
∴AC= = =4 c；
當C點位置如圖2所示時，同理可得O=3c，
∵OC=5c，
∴C=5?3=2c，
在Rt△AC中，AC= = =2 c．
故選C．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
5、（2013•廣安）如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8c，CD=3c，則圓O的半徑為（ �。�
A． cB．5cC．4cD． c
考點：垂徑定理；勾股定理．3718684
分析：連接AO，根據(jù)垂徑定理可知AC= AB=4c，設半徑為x，則OC=x?3，根據(jù)勾股定理即可求得x的值．
解答：解：連接AO，
∵半徑OD與弦AB互相垂直，
∴AC= AB=4c，
設半徑為x，則OC=x?3，
在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，
即x2=42+（x?3）2，
解得：x= ，
故半徑為 c．
故選A．
點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理、勾股定理的內(nèi)容，難度一般．
6、（2013•紹興）紹興市著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8，橋拱半徑OC為5，則水面寬AB為（ ）
A．4B．5C．6D．8
考點：垂徑定理的應用；勾股定理．3718684
分析：連接OA，根據(jù)橋拱半徑OC為5，求出OA=5，根據(jù)CD=8，求出OD=3，根據(jù)AD= 求出AD，最后根據(jù)AB=2AD即可得出答案．
解答：解：連接OA，
∵橋拱半徑OC為5，
∴OA=5，
∵CD=8，
∴OD=8?5=3，
∴AD= = =4，
∴AB=2AD=2×4=8（）；
故選；D．
點評：此題考查了垂徑定理的應用，關鍵是根據(jù)題意做出輔助線，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理．
7、（2013•溫州）如圖，在⊙O中，OC⊥弦AB于點C，AB=4，OC=1，則OB的長是（ ）
A． B． C． D．
考點：垂徑定理；勾股定理
分析：根據(jù)垂徑定理可得AC=BC= AB，在Rt△OBC中可求出OB．
解答：解：∵OC⊥弦AB于點C，
∴AC=BC= AB，
在Rt△OBC中，OB= = ．
故選B．
點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容．
8、（2013•嘉興）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（ ）
A．2 B．8C．2 D．2
考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．
專題：探究型．
分析：先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設⊙O的半徑為r，則OC=r?2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的長，連接BE，由圓周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出CE的長．
解答：解：∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=8，
∴AC=AB=4，
設⊙O的半徑為r，則OC=r?2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r?2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r?2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE= = =6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE= = =2 ．
故選D．
點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
9、（2013•萊蕪）將半徑為3c的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
考點：圓錐的計算．
分析：過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，由折疊的性質(zhì)可知OD為半徑的一半，而OA為半徑，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由內(nèi)角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可．
解答：解：過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，
由折疊的性質(zhì)可知，OD=OC=OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，
同理可得∠B=30°，
在△AOB中，由內(nèi)角和定理，
得∠AOB=180°?∠A?∠B=120°
∴弧AB的長為 =2π
設圍成的圓錐的底面半徑為r，
則2πr=2π
∴r=1c
∴圓錐的高為 =2
故選A．
點評：本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，特殊直角三角形的判斷．關鍵是由折疊的性質(zhì)得出含30°的直角三角形．
10、（2013•徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD=8，OP=3，則⊙O的半徑為（ �。�
A．10B．8C．5D．3
考點：垂徑定理；勾股定理．
專題：探究型．
分析：連接OC，先根據(jù)垂徑定理求出PC的長，再根據(jù)勾股定理即可得出OC的長．
解答：解：連接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴PC=CD=×8=4，
在Rt△OCP中，
∵PC=4，OP=3，
∴OC= = =5．
故選C．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
11、(2013浙江麗水)一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，則截面圓心O到水面的距離OC是
A. 4 B. 5 C . 6 D. 8
12、（2013•宜昌）如圖，DC 是⊙O直徑，弦AB⊥CD于F，連接BC，DB，則下列結論錯誤的是（ �。�
A． B．AF=BFC．OF=CFD．∠DBC=90°
考點：垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．
分析：根據(jù)垂徑定理可判斷A、B，根據(jù)圓周角定理可判斷D，繼而可得出答案．
解答：解：∵DC是⊙O直徑，弦AB⊥CD于F，
∴點D是優(yōu)弧AB的中點，點C是劣弧AB的中點，
A、 = ，正確，故本選項錯誤；
B、AF=BF，正確，故本選項錯誤；
C、OF=CF，不能得出，錯誤，故本選項錯誤；
D、∠DBC=90°，正確，故本選項錯誤；
故選C．
點評：本題考查了垂徑定理及圓周角定理，解答本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理、圓周角定理的內(nèi)容，難度一般．
13、（2013•畢節(jié)地區(qū)）如圖在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足為C，且OC=3，則⊙O的半徑（ �。�
A．5B．10C．8D．6
考點：垂徑定理；勾股定理．
專題：探究型．
分析：連接OB，先根據(jù)垂徑定理求出BC的長，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的長度．
解答：解：連接OB，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴BC=AB=×8=4，
在Rt△OBC中，OB= = = ．
故選A．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
14、（2013•南寧）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，且AE=CD=8，∠BAC= ∠BOD，則⊙O的半徑為（ �。�
A．4 B．5C．4D．3
考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．3718684
專題：探究型．
分析：先根據(jù)∠BAC= ∠BOD可得出 = ，故可得出AB⊥CD，由垂徑定理即可求出DE的長，再根據(jù)勾股定理即可得出結論．
解答：解：∵∠BAC= ∠BOD，
∴ = ，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE= CD=4，
設OD=r，則OE=AE?r=8?r，
在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8?r，
∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8?r）2，解得r=5．
故選B．
點評：本題考查的是垂徑定理及圓周角定理，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．
15、（2013年佛山）半徑為3的圓中，一條弦長為4，則圓心到這條弦的距離是（ �。�
A.3 B.4 C. D.
分析：過點O作OD⊥AB于點D，由垂徑定理可求出BD的長，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的長．
解：如圖所示：
過點O作OD⊥AB于點D，
∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，
∴BD=AB=×4=2，
在Rt△BOD中，OD= = = ．
故選C．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出OD的長是解答此題的關鍵
16、（2013甘肅蘭州4分、12）如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8c，水面最深地方的高度為2c，則該輸水管的半徑為（ ）
A．3cB．4cC．5cD．6c
考點：垂徑定理的應用；勾股定理．
分析：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，由垂徑定理可知AD= AB，設OA=r，則OD=r?2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．
解答：解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD= AB= ×8=4c，
設OA=r，則OD=r?2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r?2）2+42，
解得r=5c．
故選C．
點評：本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
17、（2013•內(nèi)江）在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx?3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為 24�。�
考點：一次函數(shù)綜合題．
分析：根據(jù)直線y=kx?3k+4必過點D（3，4），求出最短的弦CD是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長，再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A（13，0），求出OB的長，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
解答：解：∵直線y=kx?3k+4必過點D（3，4），
∴最短的弦CD是過點D且與該圓直徑垂直的弦，
∵點D的坐標是（3，4），
∴OD=5，
∵以原點O為圓心的圓過點A（13，0），
∴圓的半徑為13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的長的最小值為24；
故答案為：24．
點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質(zhì)，關鍵是求出BC最短時的位置．
18、（13年安徽省4分、10）如圖，點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點，在以下判斷中，不正確的是（ ）
A、當弦PB最長時，ΔAPC是等腰三角形。
B、當ΔAPC是等腰三角形時，PO⊥AC。
C、當PO⊥AC時，∠ACP=300.
D、當∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。
19、（2013•寧波）如圖，AE是半圓O的直徑，弦AB=BC=4 ，弦CD=DE=4，連結OB，OD，則圖中兩個陰影部分的面積和為 10π�。�
考點：扇形面積的計算；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系．
專題：綜合題．
分析：根據(jù)弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，過點O作OF⊥BC于點F，OG⊥CD于點G，在四邊形OFCG中可得∠FCD=135°，過點C作CN∥OF，交OG于點N，判斷△CNG、△ON為等腰直角三角形，分別求出NG、ON，繼而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圓O的半徑，代入扇形面積公式求解即可．
解答：解：
∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴點B是弧AC的中點，點D是弧CE的中點，
∴∠BOD=90°，
過點O作OF⊥BC于點F，OG⊥CD于點G，
則BF=FG=2 ，CG=GD=2，∠FOG=45°，
在四邊形OFCG中，∠FCD=135°，
過點C作CN∥OF，交OG于點N，
則∠FCN=90°，∠NCG=135°?90°=45°，
∴△CNG為等腰三角形，
∴CG=NG=2，
過點N作N⊥OF于點，則N=FC=2 ，
在等腰三角形NO中，NO= N=4，
∴OG=ON+NG=6，
在Rt△OGD中，OD= = =2 ，
即圓O的半徑為2 ，
故S陰影=S扇形OBD= =10π．
故答案為：10π．
點評：本題考查了扇形的面積計算、勾股定理、垂徑定理及圓心角、弧之間的關系，綜合考察的知識點較多，解答本題的關鍵是求出圓0的半徑，此題難度較大．
20、（2013•寧夏）如圖，將半徑為2c的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為 2 c．
考點：垂徑定理；勾股定理．3718684
分析：通過作輔助線，過點O作OD⊥AB交AB于點D，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OA=2OD，根據(jù)勾股定理可將AD的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長．
解答：解：過點O作OD⊥AB交AB于點D，
∵OA=2OD=2c，
∴AD= = = c，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= c．
點評：本題綜合考查垂徑定理和勾股定理的運用．
21、（2013•包頭）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，則∠ADB= 28 度．
考點：圓周角定理；垂徑定理．3718684
分析：根據(jù)垂徑定理可得點B是 中點，由圓周角定理可得∠ADB= ∠BOC，繼而得出答案．
解答：解：∵OB⊥AC，
∴ = ，
∴∠ADB= ∠BOC=28°．
故答案為：28．
點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
22、（2013•株洲）如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是 48 度．
考點：垂徑定理．
分析：根據(jù)點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據(jù)∠DOC=∠DOA即可求得答案．
解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D為AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴∠DOC=90°?∠DCO=90°?42°=48°．
故答案為：48．
點評：本題考查了垂徑定理的知識，解題的關鍵是根的弦的中點得到弦的垂線．
23、（2013•黃岡）如圖，是CD的中點，E⊥CD，若CD=4，E=8，則 所在圓的半徑為 ．
考點：垂徑定理；勾股定理．3481324
專題：探究型．
分析：首先連接OC，由是CD的中點，E⊥CD，可得E過⊙O的圓心點O，然后設半徑為x，由勾股定理即可求得：（8?x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．
解答：解：連接OC，
∵是CD的中點，E⊥CD，
∴E過⊙O的圓心點O，
設半徑為x，
∵CD=4，E=8，
∴C= CD=2，O=8?OE=8?x，
在Rt△OE中，O2+C2=OC2，
即（8?x）2+22=x2，
解得：x= ．
∴ 所在圓的半徑為： ．
故答案為： ．
點評：此題考查了垂徑定理以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．
24、（2013•綏化）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為 2 �。�
考點：垂徑定理；勾股定理．
專題：．
分析：連接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的長，再利用垂徑定理得到D為AB的中點，在直角三角形AOD中，利用垂徑定理求出AD的長，即可確定出AB的長．
解答：解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD= OC=1，
∵OC⊥AB，
∴D為AB的中點，
則AB=2AD=2 =2 =2 ．
故答案為：2 ．
點評：此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．
25、（2013哈爾濱）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，AC、CD是⊙O的兩條弦，且CD∥AB，若⊙O 的半徑為 ，CD=4，則弦AC的長為 ．
考點：垂徑定理；勾股定理。切線的性質(zhì)。
分析：：本題考查的是垂徑定理的應用切線的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵。
解答：連接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三點共線，連OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE= ,從而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=
26、（2013•張家界）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，且∠BAC=40°，則∠BOD= 80° ．
考點：圓周角定理；垂徑定理．3718684
分析：根據(jù)垂徑定理可得點B是 中點，由圓周角定理可得∠BOD=2∠BAC，繼而得出答案．
解答：解：∵，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，
∴ = ，
∴∠BOD=2∠BAC=80°．
故答案為：80°．
點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
27、（2013•遵義）如圖，OC是⊙O的半徑，AB是弦，且OC⊥AB，點P在⊙O上，∠APC=26°，則∠BOC= 52° 度．
考點：圓周角定理；垂徑定理．3718684
分析：由OC是⊙O的半徑，AB是弦，且OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得： = ，又由圓周角定理，即可求得答案．
解答：解：∵OC是⊙O的半徑，AB是弦，且OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．
故答案為：52°．
點評：此題考查了垂徑定理與圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
28、（2013陜西）如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，
且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，
直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為7，
則GE+FH的最大值為 ．
考點：此題一般考查的是與圓有關的計算，考查有垂徑定理、相交弦定理、圓心角與圓周角的關系，及扇形的面積及弧長的計算公式等知識點。
解析：本題考查圓心角與圓周角的關系應用，中位線及最值問題。連接OA，OB，
因為∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因為E、F中AC、BC的中點，
所以EF= =3.5，因為GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF為定值，所以GH取最大值時GE+FH有最大值，所以當GH為直徑時，GE+FH的最大值為14-3.5=10.5
29、（2013年廣州市）如圖7，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P在第一象限， 與 軸交于O,A兩點，點A的坐標為（6,0）， 的半徑為 ，則點P的坐標為 ____________.
分析：過點P作PD⊥x軸于點D，連接OP，先由垂徑定理求出OD的長，再根據(jù)勾股定理求出PD的長，故可得出答案．
解：過點P作PD⊥x軸于點D，連接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中，
∵OP= ，OD=3，
∴PD= = =2，
∴P（3，2）．
故答案為：（3，2）．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵
30、(2013年深圳市)如圖5所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圖的半徑的活動。小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即N的長）為2米，求小橋所在圓的半徑。
解析：
（2013•白銀）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且點D在⊙O的外部，判斷直線AD與⊙O的位置關系，并加以證明．
考點：切線的判定；勾股定理；垂徑定理．
專題：．
分析：（1）根據(jù)垂徑定理由半徑OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根據(jù)勾股定理計算出OE=3，則EC=2，然后在Rt△AEC中根據(jù)正切的定義可得到tan∠BAC的值；
（2）根據(jù)垂徑定理得到AC弧=BC弧，再利用圓周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根據(jù)切線的判定方法得AD為⊙O的切線．
解答：解：（1）∵半徑OC垂直于弦AB，
∴AE=BE=AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，
∴OE= =3，
∴EC=OC?OE=5?3=2，
在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，
∴tan∠BAC= ==；
（2）AD與⊙O相切．理由如下：
∵半徑OC垂直于弦AB，
∵AC弧=BC弧，
∴∠AOC=2∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAE=90°，
∴∠BAD+∠OAE=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD為⊙O的切線．
點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了勾股定理以及垂徑定理、圓周角定理．
31、（2013•黔西南州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P= ，求⊙O的直徑．
考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系；銳角三角函數(shù)的定義．
專題：幾何綜合題．
分析：（1）要證明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根據(jù) = 可以確定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；
（2）根據(jù)題意可知∠P=∠CAB，則sin∠CAB=，即 = ，所以可以求得圓的直徑．
解答：（1）證明：∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD；
（2）解：連接AC
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB= ，
即 = ，
又知，BC=3，
∴AB=5，
∴直徑為5．
點評：本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質(zhì)，解題時細心是解答好本題的關鍵．
32、（2013•恩施州）如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．
（1）求證：CG是⊙O的切線．
（2）求證：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長．
考點：切線的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．3718684
專題：證明題．
分析：（1）連結OC，由C是劣弧AE的中點，根據(jù)垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）連結AC、BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；
（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到DF=1，AD= ，再由AF∥CG，根據(jù)平行線分線段成比例得到DA：AG=DF：CF
然后把DF=1，AD= ，CF=2代入計算即可．
解答：（1）證明：連結OC，如圖，
∵C是劣弧AE的中點，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切線；
（2）證明：連結AC、BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵AC弧=CE弧，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；
（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，
∴DF= AF=1，
∴AD= DF= ，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即 ：AG=1：2，
∴AG=2 ．
點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了圓周角定理、垂徑定理和等腰三角形的判定．
33、（2013•資陽）在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．
（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCA的度數(shù)．
考點：垂徑定理；含30度角的直角三角形；圓周角定理；翻折變換（折疊問題）．
分析：（1）過點O作OE⊥AC于E，根據(jù)垂徑定理可得AE= AC，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE= r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到 所對的圓周角，然后根據(jù)∠ACD等于 所對的圓周角減去 所對的圓周角，計算即可得解．
解答：解：（1）如圖，過點O作OE⊥AC于E，
則AE= AC= ×2=1，
∵翻折后點D與圓心O重合，
∴OE= r，
在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，
即r2=12+（ r）2，
解得r= ；
（2）連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°?∠BAC=90°?25°=65°，
根據(jù)翻折的性質(zhì)， 所對的圓周角等于 所對的圓周角，
∴∠DCA=∠B?∠A=65°?25°=40°．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，翻折的變換的性質(zhì)，以及圓周角定理，（1）作輔助線構造出半徑、半弦、弦心距為邊的直角三角形是解題的關鍵，（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等求解是解題的關鍵．
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