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必考Ⅰ部分

　　一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

　　1. 若復數(shù)z=(1+ai)?(2+i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為

　　A.2 B.- C. D.-2

　　2.如圖所示是數(shù)列一章的知識結構圖，下列說法正確的是

　　A.“概念”與“分類”是從屬關系

　　B.“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”是從屬關系

　　C.“數(shù)列”與“等差數(shù)列”是從屬關系

　　D.“數(shù)列”與“等比數(shù)列”是從屬關系，但“數(shù)列”與“分類”不是從屬關系

　　3.下列說法中錯誤的是

　　A.對于命題p：?x0∈R，sin x0>1，則綈p：?x∈R，sin x≤1;

　　B.命題“若0

　　C.若p∨q為真命題，則p，q均為真命題;

　　D.命題“若x2-x-2=0，則x=2”的逆否命題是“若x≠2，則x2-x-2≠0”.

　　4.“1

　　A.充分不必要條件

　　B.必要不充分條件

　　C.既不充分也不必要條件

　　D.充要條件

　　5.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)有如下幾組樣本數(shù)據(jù)：

　　x 3 4 5 6

　　y 2.5 3 4 4.5

　　據(jù)相關性檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得其回歸直線的斜率為0.7，則這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程是

　　A.=0.7x+0.35 B.=0.7x+1

　　C.=0.7x+2.05 D.=0.7x+0.45

　　6.三角形的面積為S=(a+b+c)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為

　　A.V=abc

　　B.V=Sh

　　C.V=(S1+S2+S3+S4)r，(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)

　　D.V=(ab+bc+ac)h，(h為四面體的高)

　　7.函數(shù)f(x)=x5-x4-4x3+7的極值點的個數(shù)是

　　A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

　　8.已知橢圓+=1，F(xiàn)1、F2分別為其左、右焦點，橢圓上一點M到F1的距離是2，N是MF1的中點，則|ON|(O為原點)的長為

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　選擇題答題卡

　　題號 1 2 3 4 5 6 7 8 得　分

　　答案

　　二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.請把答案填在答題卷對應題號后的橫線上.

　　9.已知復數(shù)z=1+，則||=____________.

　　10.讀下面的程序框圖，當輸入的值為-5時，輸出的結果是________.

　　11.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案：

　　則第n個圖案中的白色地面磚有______________塊.

　　12.曲線f(x)=xsin x在點處的切線方程是______________.

　　13.已知雙曲線-=1(a，b>0)的頂點到漸近線的距離等于，則雙曲線的離心率e是________.

　　三、解答題：本大題共3小題，共35分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

　　14.(本小題滿分11分)

　　在某測試中，卷面滿分為100分，60分及以上為及格，為了調(diào)查午休對本次測試前兩個月復習效果的影響，特對復習中進行午休和不進行午休的考生進行了測試成績的統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表所示：

　　分數(shù)段 [29～40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]

　　午休考生

　　人數(shù) 23 47 30 21 14 31 14

　　不午休考

　　生人數(shù) 17 51 67 15 30 17 3

　　參考公式及數(shù)據(jù)：K2=

　　P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

　　k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

　　(1)根據(jù)上述表格完成列聯(lián)表：

　　及格人數(shù) 不及格人數(shù) 總計

　　午休

　　不午休

　　總計

　　(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為午休與考生及格有關系?對今后的復習有什么指導意義?

　　15.(本小題滿分12分)

　　已知：a，b，c>0.求證：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc.

　　16.(本小題滿分12分)

　　已知拋物線y2=4x的焦點是F，準線是l，過焦點的直線與拋物線交于不同兩點A，B，直線OA(O為原點)交準線l于點M，設A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　(1) 求證：y1y2是一個定值;

　　(2) 求證：直線MB平行于x軸.

　　必考Ⅱ部分

　　一、填空題：本大題共1個小題，每小題5分，共5分.請把答案填在答題卷對應題號后的橫線上.

　　1.從拋物線x2=4y上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為________.

　　二、選擇題：本大題共1個小題，每小題5分，滿分5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

　　2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導數(shù)是f′(x)，若f(x)是增函數(shù)且恒有f(x)>0，則下列各式中必成立的是

　　A.2f(-1)2f(-3)

　　C.2f(1)>f(2) D.3f(2)>2f(3)

　　三、解答題：本大題共3小題，共40分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

　　3.(本小題滿分13分)

　　已知函數(shù)f(x)=-x3+3x.

　　(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

　　(2)當x∈[0，a]，a>0時，設f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表達式.

　　4.(本小題滿分13分)

　　(1)證明：xln x≥x-1;

　　(2)討論函數(shù)f(x)=ex-ax-1的零點個數(shù).

　　5. (本小題滿分14分)

　　如圖，已知焦點在x軸上的橢圓+=1(b>0)有一個內(nèi)含圓x2+y2=，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，且⊥(O為原點).

　　(1)求b的值;

　　(2)設內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點A、B.

　　求證：⊥，并求|AB|的取值范圍.

　　湖南師大附中2018屆高二第一學期期末考試試題

　　數(shù)學(文科)參考答案

　　必考Ⅰ部分(100分)

　　6.C　【解析】△ABC的內(nèi)心為O，連結OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c;類比：設四面體A-BCD的內(nèi)切球球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個以O為頂點，以原面為底面的四面體， 高都為r，所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.

　　7.B　【解析】f′(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6)，

　　所以f(x)有兩個極值點x=-2及x=6.

　　8.D　【解析】據(jù)橢圓的定義，由已知得|MF2|=8，而ON是△MF1F2的中位線，故|ON|=4.

　　二、填空題

　　9.

　　10.2　【解析】①A=-5<0，②A=-5+2=-3<0，③A=-3+2=-1<0，

　　④A=-1+2=1>0，⑤A=2×1=2.

　　11.4n+2　【解析】第1個圖案中有6塊白色地面磚，第二個圖案中有10塊，第三個圖案中有14塊，歸納為：第n個圖案中有4n+2塊.

　　12.x-y=0

　　13.　【解析】由題意知=tan 30°=?e==.

　　∵K2≈5.7>5.024，

　　因此，有97.5%的把握認為午休與考生及格有關系，即能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為午休與考生及格有關系.(10分)

　　對今后的復習的指導意義就是：在以后的復習中，考生應盡量適當午休，以保持最佳的學習狀態(tài).(11分)

　　(2)據(jù)題意設A，M(-1，yM)，(8分)

　　由A、M、O三點共線有=?y1yM=-4，(10分)

　　又y1y2=-4

　　則y2=yM，故直線MB平行于x軸.(12分)

　　必考Ⅱ部分(50分)

　　一、填空題

　　1.10　【解析】設P(xP，yP)，∵|PM|=|PF|=yP+1=5，∴yP=4，

　　則|xP|=4，S△MPF=|MP||xP|=10.

　　二、選擇題

　　2.B　【解析】由選擇支分析可考查函數(shù)y=的單調(diào)性，而f′(x)>0且f(x)>0，則當x<0時′=<0，

　　即函數(shù)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，故選B.

　　三、解答題

　　3.【解析】(1)f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)

　　列表如下：

　　x (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞)

　　f′(x) - 0 + 0 -

　　f(x) 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減

　　所以：f(x)的遞減區(qū)間有：(-∞，-1)，(1，+∞)，遞增區(qū)間是(-1，1);

　　f極小值(x)=f(-1)=-2，f極大值(x)=f(1)=2.(7分)

　　(2)由(1)知，當0

　　此時fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)

　　當a>1時，f(x)在(0，1)上遞增，在(1，a)上遞減，

　　即當x∈[0，a]時fmax(x)=f(1)=2(12分)

　　綜上有h(a)=(13分)

　　4.【解析】 (1)設函數(shù)φ(x)=xln x-x+1，則φ′(x)=ln x(1分)

　　則φ(x)在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增，(3分)

　　φ(x)有極小值φ(1)，也是函數(shù)φ(x)的最小值，則φ(x)≥φ(1)=1×ln 1-1+1=0

　　故xln x≥x-1.(5分)

　　(2)f′(x)=ex-a(6分)

　�、賏≤0時，f′(x)>0，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，又f(0)=0，

　　所以此時函數(shù)有且僅有一個零點x=0;(7分)

　�、诋攁>0時，函數(shù)f(x)在(-∞，ln a)上遞減，在(ln a，+∞)上遞增，

　　函數(shù)f(x)有極小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)

　　?.當a=1時，函數(shù)的極小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0

　　則函數(shù)f(x)僅有一個零點x=0;(10分)

　　?.當01時，由(1)知極小值f(ln a)=a-aln a-1<0，又f(0)=0

　　當0

　　故此時f(x)?+∞，則f(x)還必恰有一個小于ln a的負根;

　　當a>1時，2ln a>ln a>0，計算f(2ln a)=a2-2aln a-1

　　考查函數(shù)g(x)=x2-2xln x-1(x>1) ，則g′(x)=2(x-1-ln x)，

　　再設h(x)=x-1-ln x(x>1)，h′(x)=1-=>0

　　故h(x)在(1，+∞)遞增，則h(x)>h(1)=1-1-ln 1=0，

　　所以g′(x)>0，即g(x)在(1，+∞)上遞增，則g(x)>g(1)=12-2×1×ln 1-1=0

　　即f(2ln a)=a2-2aln a-1>0，

　　則f(x)還必恰有一個屬于(ln a，2 ln a)的正根.

　　故01時函數(shù)f(x)都是恰有兩個零點.

　　綜上：當a∈(-∞，0]∪{1}時，函數(shù)f(x)恰有一個零點x=0，

　　當a∈(0，1)∪(1，+∞)時函數(shù)f(x)恰有兩個不同零點. (13分)

　　5.【解析】(1)當MN⊥x軸時，MN的方程是x=±，

　　設M，N

　　由⊥知|y1|=，

　　即點在橢圓上，代入橢圓方程得b=2.(3分)

　　(2)當l⊥x軸時，由(1)知⊥;

　　當l不與x軸垂直時，設l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0

　　則=?3m2=8(1+k2)(5分)

　　?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,

　　Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)>0，

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)

　　則，(7分)

　　x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

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　　==0，即⊥.

　　即橢圓的內(nèi)含圓x2+y2=的任意切線l交橢圓于點A、B時總有⊥.(9分)

　　(2)當l⊥x軸時，易知|AB|=2=(10分)

　　當l不與x軸垂直時，|AB|==

　　=(12分)

　　設t=1+2k2∈[1，+∞)，∈(0，1]

　　則|AB|==

　　所以當=即k=±時|AB|取最大值2，

　　當=1即k=0時|AB|取最小值，

　　(或用導數(shù)求函數(shù)f(t)=，t∈[1，+∞)的最大值與最小值)

　　綜上|AB|∈.(14分)