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　　在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

　　一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

　　初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為?(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

　　類型I：已知?(x)=2x2+x+2，求?(x+1)

　　這里不能把?(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

　　類型Ⅱ：設(shè)?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)

　　這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

　　一般有兩種方法：

　　(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

　　?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6

　　(2)變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。

　　令t=x+1，則x=t-1∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而?(x)=x2－6x+6

　　二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。

　　在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－]及[－，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

　　類型Ⅲ：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并通過(guò)圖象研究其單調(diào)性。

　　（1）y=x2+2|x－1|－1

　�。�2）y=|x2－1|

　�。�3）=x2+2|x|－1

　　這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫(huà)出其圖象。

　　類型Ⅳ設(shè)?(x)=x2－2x－1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

　　求：g(t)并畫(huà)出y=g(t)的圖象

　　解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時(shí)取最小值－2

　　當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

　　當(dāng)t＞1時(shí)，g(t)=?(t)=t2－2t－1

　　當(dāng)t＜0時(shí)，g(t)=?(t+1)=t2－2

　　t2－2,(t<0)

　　g(t)=-2，(0≤t≤1)

　　t2－2t－1,(t>1)

　　首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

　　如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域。

　　三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：

　　類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)－x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0<x1<x2<。

　　(Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x1)時(shí)，證明X<?(x)<x1。

　　(Ⅱ)設(shè)函數(shù)?(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0<。

　　解題思路：

　　本題要證明的是x<?(x)，?(x)<x1和x0<，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①?(x)=x，說(shuō)明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②方程?(x)－x=0可變?yōu)閍x2+(b－1)x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)。現(xiàn)以思路②為例解決這道題：

　　(Ⅰ)先證明x<?(x)，令?(x)=?(x)-x，因?yàn)閤1,x2是方程?(x)-x=0的根，?(x)=ax2+bx+c，所以能?(x)=a(x－x1)(x－x2)

　　因?yàn)?<x1<x2,所以,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),x－x1<0,x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此?(x)＞0,即?(x)-x＞0.至此,證得x<?(x)

　　根據(jù)韋達(dá)定理,有x1x2=∵0＜x1＜x2<，c=ax1x2<x=?(x1),又c=?(0),∴?(0)<?(x1),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=?(x)是開(kāi)口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=?(x)在閉區(qū)間[0，x1]上的最大值在邊界點(diǎn)x=0或x=x1處達(dá)到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到，由于?(x1)>?(0)，所以當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)?(x)<?(x1)=x1，

　　即x<?(x)<x1

　　b2

　　4a

　　(Ⅱ)∵?(x)=ax2+bx+c=a（x+－）2+(c－),（a>0）

　　函數(shù)?(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=－,且是唯一的一條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0=－，因?yàn)閤1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=－，∵x2－<0，

　　∴x0=－=（x1+x2－）<,即x0=。

　　二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

　　二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入。

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