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2016高考數(shù)學(xué)題型歸納：圓錐曲線

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：

①、要解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或消去x)得到關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程，再考查其△，從而確定直線與圓錐曲線的的交點(diǎn)個數(shù)：(1)若△0，則直線與圓錐曲線沒有公共點(diǎn);②若△=0，則直線與圓錐曲線有唯一的公共點(diǎn);③若△0，則直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點(diǎn);

②、從幾何角度來看：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系對應(yīng)著相交(有兩個交點(diǎn))、相切(有一個公共點(diǎn))、相離(沒有公共點(diǎn))三種情況;這里特別要注意的是：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時、當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，屬于相交的情況，但只有一個公共點(diǎn)。

3、直線與圓錐曲線相交的中點(diǎn)弦的的問題,常用的求解方法有兩種：

①、設(shè)直線方程為y=kx+m，代入到圓錐曲線方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系去處理(由于直線方程與圓錐曲線方程均未定，因而通常計算量較大);

②、利用點(diǎn)差法：例如在橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)P(x0,y0),求以P為中點(diǎn)的弦的直線方程時，可設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2)，則A、B滿足橢圓方程，即有兩式相減再整理可得：(x1+x2)(x1-x2)a2=-(y1+y2)(y1-y2)b2;從而可化出k=y1-y2x1-x2=(x1+x2)(y1+y2)-b2a2=x0y0

對于雙曲線也可求得：k=y1-y2x1-x2=(x1+x2)(y1+y2)b2a2=x0y0拋物線也可用此法去求解，值得注意的是，求出直線方程之后，要根據(jù)圖形加以檢驗(yàn)。

4、解決直線與圓錐曲線問題的一般方法是：

①、解決焦點(diǎn)弦(過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦)的長的有關(guān)問題，注意應(yīng)用圓錐曲線的定義和焦半徑公式;

②、已知直線與圓錐曲線的某些關(guān)系求圓錐曲線的方程時，通常利用待定系數(shù)法;

③、圓錐曲線上的點(diǎn)關(guān)于某一直線的對稱問題，解決此類問題的方法是利用圓錐曲線上的兩點(diǎn)所在的直線與對稱直線垂直，則圓錐曲線上兩點(diǎn)的中點(diǎn)一定在對稱直線上，再利用根的判別式或中點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系求解。

典型例題

考點(diǎn)一：求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、準(zhǔn)線方程等.利用待定系數(shù)法求出相應(yīng)的a，b，p等.

例1.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸， 一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為-4，求此橢圓方程、離心率、準(zhǔn)線方程及準(zhǔn)線間的距離.

【名師點(diǎn)睛】：充分認(rèn)識橢圓中參數(shù)a,b,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān).

考點(diǎn)2：圓錐曲線的幾何性質(zhì)由方程來討論其性質(zhì).

例2：設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且|PF1||PF2|，求的值.

思路分析：由已知，F(xiàn)1不是直角頂點(diǎn)，所以只要對P、F2中哪一個是直角頂點(diǎn)分兩種情況即可.

解法1：由已知，|PF1||PF2|，|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=，

若PF2F1為直角，則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，可解得：|PF1|=，|PF2|=，這時.

若F2PF1為直角，則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，可解得：|PF1|=4，|PF2|=2，這時.

【名師點(diǎn)睛】：由橢圓的方程，熟練準(zhǔn)確地寫出其幾何性質(zhì)(如頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，長、短軸長，焦距，離心率，焦半徑等)是應(yīng)對考試必備的基本功;在解法2中設(shè)出了P點(diǎn)坐標(biāo)的前提下，還可利用|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex來求解.

考點(diǎn)3：有圓錐曲線的定義的問題

利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.

1、橢圓的第一定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

橢圓的第二定義：我們把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e=(0