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沈陽二中2013――2014學(xué)年度上學(xué)期期中考試高三（14屆）數(shù)學(xué)（理科）試題 說明：1.測試時(shí)間：120分鐘 總分：150分 2.客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應(yīng)位置上 第Ⅰ卷 （60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集為,集合,,則( )A. B. C. D. 2. 如果等差數(shù)列中，，那么14 B. 21 C. 28 D. 353.設(shè),則（　　）A．B．C．D．4. 的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，（ ）學(xué)優(yōu)A. B． C． D． 5.關(guān)于的方程的個(gè)數(shù)為A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則的一個(gè)可能取值為A. B. C. 0 D.7.過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則直線的方程為B．C．D．9.雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線PF的斜率的變化范圍是 （ ） A. (－∞，0) B.(1，+∞) C.(－∞，0)∪(1，+∞) D.(－∞，－1)∪(1，+∞)10.已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（ ）A.2 B.3 C. 4 D. 611.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）A. B. C. D.12. 的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，給出下列三個(gè)敘述：①②③以上三個(gè)敘述中能作為“是等邊三角形”的充分必要條件的個(gè)數(shù)為（ ）A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)第Ⅱ卷 （90分） 二、填空題: 本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是夾角為的兩個(gè)單位向量， 若，則k的值為 . 14. 拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)?包含三角形內(nèi)部與邊界).若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn),則的取值范圍是__________.中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分10分）在中，內(nèi)角所對的邊長分別為，，，.求sinC和b的值. 學(xué)優(yōu)18. （本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足，.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19. （本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B.l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；（II）如果，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．20. （本小題滿分12分）小波以游戲方式?jīng)Q定參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì).游戲規(guī)則為:以為起點(diǎn),再從(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為.若就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì).求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21. （本小題滿分12分）如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點(diǎn)、在軸上（但不屬于），對上任一點(diǎn)及點(diǎn)，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．（Ⅰ的方程；（Ⅱ）求的最小值（用表示）；22. （本小題滿分12分）已知函數(shù)， (I) 討論函數(shù)的單調(diào)性； (Ⅱ)當(dāng)時(shí)≤恒成立，求的取值范圍． 14． 15. 16. 12三、解答題17.解：，由正弦定理可得 ……5分 由，得，由，故. ……10分18. 解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 分 （II）設(shè)數(shù)列，即，所以，當(dāng)時(shí)， 所以綜上，數(shù)列 （I）由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x中消去x得，y2－4ty－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，＝x1x2＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.（II）設(shè)l：x＝ty＋b，代入方程y2＝4x消去x得，y2－4ty－4b＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.∵ ＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直線l過定點(diǎn)(2,0)．解（I）從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有種,時(shí),兩向量夾角為直角共有8種情形;所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為. （II）兩向量數(shù)量積的所有可能取值為時(shí)當(dāng)時(shí),有種情形時(shí),有8種情形時(shí),有10種情形.所以的分布列為: ……10分. ……12分21. 解：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點(diǎn)的半橢圓，. ∴的方程為. ……4分（注：不寫區(qū)間“”扣1分） www.gkstk.com 學(xué)優(yōu)（II）由（I）知，曲線的方程為，設(shè)， 則有， 即 ① 又，，從而直線的方程為 AP：； BP： ……6分 令得，的縱坐標(biāo)分別為 ； . ∴ ② 將①代入②， 得 .……8分 ∴ .當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號．即的最小值是.……12分22.解： (I)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減……6分 (Ⅱ)等價(jià)于在恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，，與題意矛盾當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，，與題意矛盾綜上所述：……12分遼寧省沈陽二中2014屆高三上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)理）
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