2015年馬鞍山市高班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題在后面本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3至第4頁(yè)．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意事項(xiàng)： 1．答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致． 務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫(xiě)姓名和座位號(hào)（四位數(shù)字）． 2．答第Ⅰ卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)． 3．答第Ⅱ卷時(shí)，必須使用0．5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)，要求字體工整、筆跡清晰．作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0．5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚．必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效． 4．考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)位置將正確結(jié)論的代號(hào)用2B鉛筆涂黑．1． 設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)（其中i為虛單位）,則( ▲ )A． B． C． D． 2． 已知，則 =( ▲ )A．B． C． D． 3． 設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是( ▲ )A． B． C． D． 4． 某幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則此幾何體的體積是( ▲ )A． B． C．2D．35．若曲線在處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂 直，則實(shí)數(shù)a等于( ▲ )A．－2 B．－1 C．1 D．26．已知，且滿足．那么的取值范圍是( ▲ )A． B． C． D．7．公比不為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．若，則=( ▲ )A． B． C． D．408．已知，分別是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線和圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，且，那么雙曲線的離心率為( ▲ )A． B． C． D．9． 如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，，，則的值為( ▲ )A． B．C． D．10．用數(shù)字01，2，3組成數(shù)字可以重復(fù)的四位數(shù)其中有且只有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)兩次的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為( ▲ )A．54 B． 72 C．90 D． 108第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上答題．11．拋物線上到焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是▲ ．12．將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，然后將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為▲ ．13．某程序框圖如圖所示，則程序運(yùn)行后輸出的值為▲ ．14．設(shè)則▲ ．15．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出下列命題：①當(dāng)時(shí)，； ②函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；③的解集為； ④，都有．其中所有正確的命題序號(hào)是▲ ． 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿分75分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．(本題滿分12分)已知函數(shù)．（Ⅰ ）求的最大值；（Ⅱ ）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，，求的值．17．（本小題滿分12分）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球�，F(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球。（Ⅰ）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（Ⅱ）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18(本題滿分13分)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC=3，點(diǎn)E在棱PB上，且PE＝2EB．（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．19． (本題滿分12分)已知函數(shù)．（Ⅰ）若在處取得極值，求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值．20． (本題滿分13分)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)（，）．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，滿足直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．21． (本題滿分13分)已知數(shù)列中,． （Ⅰ）求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè),,求的解析式（Ⅲ）求證：對(duì)不等式恒成立馬鞍山市201屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：答案BCCADBADAD二、填空題： 612. 13. 1014.15. ③④三、解答題： 解：（Ⅰ） 6分 （Ⅱ）由條件得 化簡(jiǎn)得 定理得： 8分又由余弦定理得 …………………………………………………………（10分 …………………………………………………（12分 17. 解：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件。由于事件，互斥，且， 故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為分（Ⅱ）可能的取值為。，，從而。的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望分18. 解析：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB.又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.（Ⅱ）∵PC⊥AD在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，∴∠DCA＝∠BAC＝，又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形，∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.連接BD，交AC于點(diǎn)M，則＝＝2.連接EM，在△BPD中，＝＝2，∴PD∥EM，又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC.（Ⅲ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AP所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(3,3,0)，P(0,0,3)，E (0,2,1)設(shè)n1＝(x,y,1)為平面AEC的一個(gè)法向量，則n1⊥，n1⊥，∵＝(3,3,0)，＝(0,2,1)，∴解得x＝，y＝－，∴n1＝.設(shè)n2＝(x′，y′，1)為平面PBC的一個(gè)法向量，則n2⊥，n2⊥，又＝(,0,0)，＝(0)，∴解得x′＝0，y′＝1，∴n2＝(0,1,1)．為平面PBC的一個(gè)法向量∵cos〈n1，n2〉＝＝，∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為..注：以其他方式建系的參照給分。19. 解：（Ⅰ）∵，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∴． ∵在處取得極值， 即， ∴． 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)，在內(nèi)，∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)． ∴． （Ⅱ）∵，∴． ∵ x∈， ∴，∴在上遞增；在上遞減， ①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增， ∴； ②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴； ③當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，∴．20. 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為， 則， 解得， 所以，橢圓方程為． ……………………………………分（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，， 由 消去得， 則，且，．故．因?yàn)橹本�，，的斜率依次成等比數(shù)列，所以，，即， 又，所以，即．由于直線，的斜率存在，且△＞0，得且．設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以的取值范圍為． 21. 解:由故是公差是1的等差數(shù)列. …………………………………… 4分 （Ⅱ）= …………………… 6分因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)， ………………… 7分當(dāng)時(shí),……….(1)得……(2) = ……………………… 9分綜上所述: ………………… 10分（Ⅲ）因?yàn)?又,易驗(yàn)證當(dāng),3時(shí)不等式成立 …………… 11分假設(shè),不等式成立,即兩邊乘以3得:又因?yàn)樗约磿r(shí)不等式成立.故不等式恒成立. ………………… 13分第4題圖側(cè)（左）視圖正（主）視圖俯視圖第13題圖安徽省馬鞍山市2015屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè) 數(shù)學(xué)理試題 Word版含答案
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