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j.Co M
§二次函數(shù)性質(zhì)的再研究
一、內(nèi)容與解析
（一）內(nèi)容：二次函數(shù)性質(zhì)的再研究。
（二）解析：二次函數(shù)問題多以解答題的一個(gè)部分出現(xiàn)，主要考查利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)研究最值、值域、單調(diào)性、求函數(shù)值等問題.特別是定軸動(dòng)區(qū)間或（動(dòng)軸定區(qū)間）問題是高考考查的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)本節(jié)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，并能靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題.
二、目標(biāo)及其解析：
（一）目標(biāo)
（1）掌握二次函數(shù)的求最值、對(duì)稱性和平移以及二次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的應(yīng)用；
（二）解析
（1）二次函數(shù)是一重要的函數(shù)，掌握好二次函數(shù)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)以后的函數(shù)有重要的啟發(fā)作用，學(xué)習(xí)時(shí)，要特別注意其性質(zhì)的把握，這里面一個(gè)最關(guān)鍵的是對(duì)稱軸。
三、問題診斷分析
研究二次函數(shù)問題一定注意問題成立的范圍，超出范圍的解是無效的.因此研究二次函數(shù)時(shí)，不僅要關(guān)注函數(shù)的解析式還要關(guān)注函數(shù)的定義域，這一點(diǎn)對(duì)初學(xué)者來說，是很容易犯錯(cuò)的。
四、支持條件分析
在本節(jié)課一次遞推的教學(xué)中，準(zhǔn)備使用PowerPoint 2003。因?yàn)槭褂肞owerPoint 2003，有利于提供準(zhǔn)確、最核心的文字信息，有利于幫助學(xué)生順利抓住老師上課思路，節(jié)省老師板書時(shí)間，讓學(xué)生盡快地進(jìn)入對(duì)問題的分析當(dāng)中。
五、教學(xué)過程
（一）研探新知：
（1）1.二次函數(shù) 的性質(zhì)



圖 像

開口方向① ②
頂點(diǎn)坐標(biāo)③ ④
對(duì) 稱 軸


單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間
⑤調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞增區(qū)間
⑥單調(diào)遞減區(qū)間
最 值當(dāng) ,取 得最小值為
當(dāng) ,取得最大值為


2．二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
①如何確定二次函數(shù)的性質(zhì)

②如何確定二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域或最值

3.二次函數(shù)的三種解析式
①頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k (a≠0),其中點(diǎn)(h,k)為頂點(diǎn),對(duì)稱軸為x=h.如果已知頂點(diǎn)，則可設(shè)成這種形式.
②交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).如果已知二次函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)成這種形式.
③一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函數(shù)上任意3點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)為這種形式.
（二）類型題探究
題型一 二次函數(shù)的最值與解析式問題
例1 已知 ，函數(shù) 、 表示函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值，最大值，求 、 表達(dá)式．
解析：由 ，知圖像關(guān)于 對(duì)稱，結(jié)合圖像知，
當(dāng) ，即 時(shí)， ；
而當(dāng) ，即 時(shí)， ；
當(dāng) ，即 時(shí)， ．
∴ ．
當(dāng) ，即 時(shí)， ；
當(dāng) ，即 時(shí)， ．
∴ ．
題型二 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題
例2 某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為： ，所以這時(shí)租出了88輛車；
（2）設(shè)每輛車的月租金定為 元，則租賃公司的月收益為：
，
整理得： ，
所以，當(dāng) 時(shí)， 取最大值，其最大值為 ，
即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.

設(shè)計(jì)意圖：通過以上問題的探討，使學(xué)生逐漸體會(huì)研究函數(shù)問題的一般方法。
(三）小結(jié)：
六、目標(biāo)檢測(cè)
一、選擇題
1. 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c滿足f（4）＝f（1），那么（�。�
A. f（2）＞f（3） B. f（2）＜f（3）
C. f（2）＝f（3） D. f（2）與f（3）的大小關(guān)系不能確定
1. C 解析：函數(shù)對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性與二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān)，結(jié)合對(duì)稱軸的位置即可得到答案．
2. 一元二次方程 有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則a的范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. C 解析：方程△＝4－4a>0，設(shè)兩根為 ，則 ．∵ 異號(hào)，∴ ,結(jié)合兩個(gè)不等式可得解.
3.函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)，則（�。�
A. B. C. D.
3．Ａ 解析：函數(shù) 的對(duì)稱軸 ，∴函數(shù) ）是單調(diào)函數(shù) ，
4.二次函數(shù) ，若 ，則 等于（ ）
A. B. C. D.

4.Ｄ 解析：二次函數(shù) 對(duì)稱軸 ，頂點(diǎn)坐標(biāo) ,所以 =
二、填空題　
5.某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入運(yùn)營(yíng).據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的利潤(rùn)y與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈Z）為二次函數(shù)關(guān)系（如圖），則客車有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過________年.
5.7 解析：首先根據(jù)條件求出y＝－（x－6）2＋11，本題要求的“客車有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間”實(shí)際上是求圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差．
6.若函數(shù)f（x）=x2+2（a－1）x+2在區(qū)間（－∞，4］上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____
6.a≤－3 解析：利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與其對(duì)稱軸的關(guān)系來解題,已知函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為1>0,所以在對(duì)稱軸的左側(cè)該函數(shù)為減函數(shù).該函數(shù)對(duì)稱軸為 ,所給區(qū)間都在對(duì)稱軸的左側(cè),即a≤－3
三、解答題
7．(1)求函數(shù) （x∈N）的最小值.
(2)在區(qū)間 上,求函數(shù) 的最大值與最小值.
(3)在區(qū)間 上,求函數(shù) 的最大值與最小值.
7.解析：(1)因?yàn)?,又因?yàn)?∈N,所以當(dāng) =1或 =2時(shí)函數(shù)值都等于－9且最小.
(2)該函數(shù)的對(duì)稱軸為x= ,所給區(qū)間 在對(duì)稱軸的同側(cè),都在右側(cè),又二次項(xiàng)系數(shù)為1>0,所以在 上該函數(shù)為增函數(shù),所以當(dāng) =2時(shí),函數(shù)值最小,最小值為-9,當(dāng) =3時(shí)函數(shù)有最大值,最大值為-7
(3)所給區(qū)間在對(duì)稱軸的異側(cè),所以在對(duì)稱軸的時(shí)候?qū)��?yīng)的函數(shù)值最小,最小值為 ,當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,所以該函數(shù)的最大值為 .
8.已知二次函數(shù)當(dāng)x=4時(shí)有最小值－3，且它的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
8. 解析：解法一：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），由條件，可得拋物線的頂點(diǎn)為（4，－3），且過（1，0）與（7，0）兩點(diǎn)，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得 解得
∴所求二次函數(shù)解析式為y= x2－ x+ .
解法二：∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）與（7，0），
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x－1）（x－7），把頂點(diǎn)（4，－3）代入，得－3=a（4－1）（4－7），解得a= .
∴二次函數(shù)解析式為y= （x－1）（x－7），即y= x2－ x+ .
解法三：∵拋物線的頂點(diǎn)為（4，－3），且過點(diǎn)（1，0），∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x－4）2－3.
將（1，0）代入，得0=a（1－4）2－3，解得a= .
∴二次函數(shù)解析式為y= （x－4）2－3，即y= x2－ x+ .
高考能力演練
9.若函數(shù)f（x）=x2+ax+b與x軸的交點(diǎn)為（1，0）和（3，0），則函數(shù)f（x）的單調(diào)性

A.在（－∞，2］上減少，在［2，+∞）上增加 B.在（－∞，3）上增加
C.在［1，3］上增加 D.不能確定
9. A 解析：由已知可得該函數(shù)的對(duì)稱軸為 ,又二次項(xiàng)系數(shù)為1>0,所以在（－∞，2］上為單調(diào)遞減函數(shù)，在［2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù).
10．已知函數(shù) ,且對(duì)任意的實(shí)數(shù) 都有 成立
(1)求實(shí)數(shù) 的值; (2)利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性.
10.解析： (1) ,所以該函數(shù)的對(duì)稱軸為 ,
根據(jù)函數(shù)解析式可知 ,所以 .
(2)由(1)可知 ,在 上該函數(shù)為增函數(shù),下面就用定義去證明:
設(shè) ,則
, , ,
即 ,故函數(shù) 在區(qū)間 上的增函數(shù)
11.已知函數(shù)f（x）=x2－2ax+a2+1，x∈［0，1］，若g（a）為f（x）的最小值.
（1）求g（a）； （2）當(dāng)g（a）=5時(shí)，求a的值.
11.解析： f（x）=（x－a）2+1，
（1）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，g（a）=f（a）=1;
當(dāng)a<0時(shí)，g（a）=f（0）=a2+1; 當(dāng)a>1時(shí)，g（a）=f（1）=a2－2a+2.
∴g（a）=
（2）令 a=－2. 令 a=3.∴ 或 時(shí),


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