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　　算法是高中數(shù)學課程中的新增內容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，運用消元法解二元一次方程組、求最大公因數(shù)等的過程就是算法。一般地，機械式地按照某種確定的步驟行事，通過一系列小的簡單計算操作完成復雜計算的過程，被人們稱為“算法”過程。例如，人們很容易完成的基本計算是一位數(shù)的加、減、乘和進位借位等，復雜計算過程實際上都是通過這些操作，按照一定的工作次序與步驟，組合完成的。

　　一、內容與課程學習目標

　　算法是數(shù)學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎。隨著現(xiàn)代信息技術的飛速發(fā)展，算法在科學技術、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成為現(xiàn)代人應具備的一種數(shù)學素養(yǎng)。需要特別指出的是，中國古代數(shù)學中蘊涵了豐富的算法思想。在本章中，學生將在義務教育階段初步感受算法思想的基礎上，結合對具體數(shù)學實例的分析，體驗程序框圖在解決問題中的作用；通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程；體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力。

　　具體來說，通過本章的學習，應當使學生達到以下目標：

　　1．算法的含義、程序框圖

　　（1）通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如：二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義。

　�。�2）通過模仿、操作、探索，經歷設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中（如：三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環(huán)。

　　2．基本算法語句

　　經歷將具體問題的程序框圖轉化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，體會算法的基本思想。

　　3．通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻，增強民族自豪感。

　　二、內容安排

　　本章包括3節(jié)，約需12課時，具體內容和課時分配（僅供參考）如下：

　　1.1 算法與程序框圖                                       約2課時

　　1.2 基本算法語句                                         約3課時

　　1.3 算法案例                                             約6課時

　　閱讀與思考   割圓術

　　小 結                                                    約1課時

　　本章知識結構如下：

　　1．中學數(shù)學中的算法內容和其它內容是密切聯(lián)系在一起的，比如線性方程組的求解、數(shù)列的求和等。具體來說，需要通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程，體會算法的基本思想和含義，理解算法的基本結構和基本算法語句，并了解中國古代數(shù)學中的算法。

　　2．本章集中解決算法的一些基本問題，比如通過實例讓學生體會和理解算法的含義，通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程，了解算法語言的基本構成，理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，并通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。

　　3．一般算法由順序、條件和循環(huán)三種基本結構組成。順序結構是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基本主體結構。例如，下面的算法就是典型的順序結構。

　　一個三角形的三邊邊長分別為2、3、4，設計一個算法，求出它的面積。

　　算法分析：

　　第一步：輸入3個數(shù)2、3、4。

　　第二步：計算。

　　第三步：計算三角形的面積。

　　第四步：輸出s的值。

　　條件結構是以條件的判斷為起始點，根據條件是否成立而決定執(zhí)行哪一個處理步驟。例如，下面的例題就要求我們做出判斷。

　　任意給定3個正實數(shù)，設計一個算法求分別以這3個數(shù)為三邊邊長的三角形的面積。

　　算法分析：

　　第一步：輸入3個數(shù)a、b、c。

　　第二步：判斷a、b、c是否能構成三角形。

　　第三步：如果能構成三角形，計算和三角形的面積。

　　第四步：輸出ｓ的值或者“無法構成三角形”的信息。

　　循環(huán)結構是指在算法設計中，從某處開始有規(guī)律地反復執(zhí)行某一處理步驟，這個處理步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)體的執(zhí)行次數(shù)由一個控制循環(huán)條件決定。滿足條件反復做，不滿足則停止。

　　循環(huán)結構分為兩種──當型（while型）和直到型（until型）。當型循環(huán)在執(zhí)行循環(huán)體前對控制循環(huán)條件進行判斷，當條件滿足時反復做，不滿足停止；直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后，對控制循環(huán)條件進行判斷，當條件不滿足時反復做，滿足則停止。

　　  下面的例子分別用當型和直到型算法解決同一個問題。

　　例如，畫出求1 + 2 +… + 100的程序框圖。

　　程序框圖：

　　  　　“WHILE型循環(huán)”                              “UNTIL型循環(huán)”

　　4．“算法是計算機科學的基礎”，計算機完成任何一項任務都需要算法。但是，用自然語言或程序框圖描述的算法計算機是無法“理解”的，我們還需要將算法用計算機能夠理解的語言表達出來，通常這稱為程序設計，所用的語言稱為程序設計語言（programming language）。程序設計語言由一些有特定含義的程序語句構成，與算法程序框圖的三種基本結構相對應，任何程序設計語言都包含輸入輸出語句 、賦值語句、條件語句和循環(huán)語句。不同的程序設計語言有不同的語句形式和語法規(guī)則，但基本結構是相同的。正是由于這樣的原因，在研究算法的時候，有時并不很關心算法語句是否用得是某種精確的程序語言，而采用基本結構相同的更為簡便易懂的語言形式，有人稱之為偽代碼。

　　5．中國古代數(shù)學中算法的內容是非常豐富的，比如，中國古代數(shù)學著作《九章算術》中介紹了下述“約分術”：

　　“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。”

　　意思是說：若分子、分母全是偶數(shù)，則把分子、分母分別置于兩邊，然后由較大的數(shù)減去較小的數(shù)，并輾轉相減，直到兩邊所得的數(shù)相等，就用這個數(shù)（等數(shù)）來約分。這個數(shù)就是分子和分母的最大公約數(shù)。

　　“約分術”實際上給出了求任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)的一種算法，被后人稱為“更相減損術”。這種方法與歐氏算法異曲同工，本質上是相同的。

　　在中國古代數(shù)學中，中學生能夠很容易理解的內容還有熟知的割圓術、多項式求值的秦九韶算法等。

　　算法內容反映了時代的特點，同時也是中國數(shù)學課程內容的新特色。中國古代數(shù)學以算法為主要特征，取得了舉世公認的偉大成就�，F(xiàn)代信息技術的發(fā)展使算法重新煥發(fā)了前所未有的生機和活力，算法進入中學數(shù)學課程，既反映了時代的要求，也是中國古代數(shù)學思想在一個新的層次上的復興，也就成為了中國數(shù)學課程的一個新的特色。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　�。保畯娬{通過案例引導學生認識算法的本質

　　算法的概念并沒有一個統(tǒng)一的定義，教科書從豐富的實例出發(fā)，自始至終貫徹“通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義”的要求，力求使學生能夠對算法本質有所認識。自然語言、程序框圖和算法語言是表達算法的三種形式，教科書通過簡單的實例來說明程序框圖和算法語言的使用，抓住了算法表示的核心內容，不追求完整。算法案例的處理也遵循了這一原則，重在對案例的算法的分析，案例的選擇也主要從算法的典型性、與以往知識的連續(xù)性和可接受性的角度出發(fā)，使學生能夠通過案例的學習進一步理解算法的本質。

　�。玻�突出與其他部分內容的聯(lián)系，體現(xiàn)算法的基本思想

　　教科書中例題的選取注意體現(xiàn)與已經學過的內容的聯(lián)系，比如一元二次方程、二元二次方程的解法過程，用二分法求方程的近似解，遞推數(shù)列求和等等。力求通過這樣的聯(lián)系使學生認識到算法思想的重要性，并逐步能夠應用算法思想解決一些實際問題。

　　3．強調學生的實踐

　　算法是實踐性很強的內容，只有通過學生自己的親身實踐，讓學生親自去解決幾個算法設計的問題，才能使學生體會算法的基本思想，學會一些基本邏輯結構和語句。因此，在教科書編寫過程中，特別強調了通過實例讓學生體會和理解算法的含義，通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程，了解算法語言的基本構成，理解幾種基本算法語句。

　　四、對教學的幾個建議

　�。保疁蚀_把握算法內容的教學要求

　　算法一方面具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度抽象性、概括性和精確性。對于一個具體算法而言，從算法分析到算法語言的實現(xiàn)，任何一個疏漏或錯誤都將導致算法的失敗。算法是思維的條理化、邏輯化。

　　算法既重視“算則”，更重視“算理”。對于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據，即“算理”有著更基本的作用，“算理”是“算則”的基礎，“算則”是“算理”的表現(xiàn)。

　　算法思想可以貫穿于整個中學數(shù)學內容之中，有豐富的層次遞進的素材，而在算法的具體實現(xiàn)上又可以和信息技術相聯(lián)系，因而，算法有利于培養(yǎng)學生理性精神和實踐能力，是實施探究性學習的良好素材。

　　根據對算法的上述理解，以及“標準”對算法的定位，教學中應當把體會算法的基本思想、提高學生邏輯思維能力作為重點，即教學過程中，應當以教科書中提供的案例為載體，引導學生在設計程序框圖、將程序框圖轉化為程序語句的實踐中，體會算法的含義，學會如何用程序框圖表達解決問題的思路，而不要將本章內容簡單處理成程序語言的學習和程序設計。

　　2．算法教學必須通過實例進行，應盡量使用信息技術

　　前已指出，算法的操作性很強，因此算法教學應當強調學生的動手實踐。教學中應當充分應用教科書中提供的實例，使學生在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結構和算法語句。

　　算法內容是將數(shù)學中的算法與計算機技術建立聯(lián)系，形式化地表示算法。為了有條理地、清晰地表達算法，往往需要將解決問題的過程整理成程序框圖；為了能在計算機上實現(xiàn)，又要將自然語言或程序框圖翻譯成計算機語言。因此，如果能讓學生上機，算法設計的整個過程就可以得到完整的體現(xiàn)，學生可以及時看到自己設計的算法的可行性、有效性，這不但可以很好地激發(fā)學生的興趣，而且還能提高學習效果。因此，有條件的學校，應鼓勵學生盡可能上機嘗試。

　　3．算法思想應滲透在整個高中數(shù)學課程中

　　算法除作為本模塊的內容之外，其思想方法應滲透在高中數(shù)學課程其他有關內容中，鼓勵學生盡可能地運用算法解決相關問題。在教學中，要體現(xiàn)數(shù)學與算法的有機結合，在學習相應的內容（如制作隨機數(shù)表、三角函數(shù)表、數(shù)列、不等式等）的過程中，有意識地引導學生體會算法思想，使他們看到數(shù)學在算法設計中的作用，以及掌握算法思想對于提高數(shù)學能力的重要性。