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在1972年西方的報(bào)章報(bào)導(dǎo)了中國利用一種數(shù)學(xué)原理，對(duì)生產(chǎn)和科學(xué)研究中不同的試驗(yàn)項(xiàng)目，合理地安排試驗(yàn)點(diǎn)，減少試驗(yàn)的盲目性，比較快和準(zhǔn)確的找到最好結(jié)果的一種試驗(yàn)方法。因此使到生產(chǎn)建設(shè)可以提高速度完成，而且質(zhì)量優(yōu)良，減少消耗浪費(fèi)。消息還說隨著這種方法的推廣，預(yù)見中國的生產(chǎn)步伐會(huì)更加迅速前進(jìn)。

過了不久，我們看到了中國拍攝的時(shí)事紀(jì)錄片，有關(guān)中國數(shù)學(xué)家華羅庚教授在工人當(dāng)中推廣這種方法──優(yōu)選法的情形。我們看到他怎么樣用淺白的語言和生動(dòng)的例子來解釋這個(gè)方法，也看到工人們?cè)鯓影堰@理論方法用到實(shí)際的生產(chǎn)實(shí)踐上，而獲得優(yōu)良的成果的情形。

今天我們要談的是這種方法常要用到的一個(gè)數(shù)值1.618的來源以及它的一些故事。

古代希臘的“黃金分割”

在差不多二千年前希臘的數(shù)學(xué)家考慮了一個(gè)幾何問題，這問題可以這樣說：給出任何一個(gè)線段AB，我們要在這上面找出一點(diǎn)，這一點(diǎn)把這線段分成長短二部份。要求的是全線段的長和較長部份的比值是等于較長部分和較短部份的長的比值。

如果我們假設(shè)較長的部份是AC，較短的部份是CB，我們
   ,由于AB=AC+CB，
　　所以我們看到：
　　

現(xiàn)在我們得到了一個(gè)代數(shù)方程，我們把這個(gè)方程化簡它變成了x2-x-1=0

　　到1.6180339…。

優(yōu)選法用的數(shù)是它的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)。一般我們?cè)趹?yīng)用時(shí)只取準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)，因此我們用1.618。這個(gè)數(shù)以往的數(shù)學(xué)家稱為“黃金數(shù)”（Golden number）。今天我們來看這個(gè)名稱真是給的恰到好處，這個(gè)數(shù)真是一個(gè)寶，它為國家創(chuàng)造了多少財(cái)富！

希臘數(shù)學(xué)家把這個(gè)幾何問題里的點(diǎn)C稱為把線段黃金分割（Golden section）。

我們現(xiàn)在看要怎么樣用直尺和圓規(guī)找出這一點(diǎn)C來？

我們過B點(diǎn)作一條直線垂直AB，然后在這直線上取線段BD，使得BD的長是AB的一半，然后我們聯(lián)結(jié)AD。

我們?cè)僖訢為圓心，DB的長為半徑畫一個(gè)弧，這弧交AD于E點(diǎn)，然后再以A為圓心，AE的長為半徑畫弧，這弧交AB于C點(diǎn)，這C點(diǎn)就是我們所要找的將AB黃金分割的點(diǎn)。（見圖一）

我們這樣作圖為什么是對(duì)的呢？

現(xiàn)在假定AB的長是2個(gè)單位，那么由作圖我們知道BD的長是1個(gè)

現(xiàn)在我們看看AB和AC的比值是什么？

這就是我們剛才求到的黃金數(shù)了。

歐洲中世紀(jì)的物理學(xué)家和天文學(xué)家開普勒（J．Kepler1571—1630），曾經(jīng)說過：“幾何學(xué)里有二個(gè)寶庫：一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理（我們稱為“商高定理”）；另外一個(gè)就是黃金分割。前面那個(gè)可以比著金礦，而后面那一個(gè)可以比著珍貴的鉆石礦�！�

在歐幾里得的《幾何原本》一書里，他就考慮到了這樣的問題：“作一個(gè)三角形，使得二腰相等，而其底角是頂角的二倍。”在這里就用到了黃金分割。

如果我們作一個(gè)圓內(nèi)接正十多邊形，那么那個(gè)邊和半徑的比又是黃金數(shù)！

有一次我在聯(lián)合國會(huì)場外看那世界各國的國旗迎風(fēng)招展，我發(fā)現(xiàn)許多國家的國旗是有五角星出現(xiàn)，當(dāng)時(shí)我心里想一個(gè)問題：為什么這么奇怪，許多國家都要把五角星弄進(jìn)他們的旗幟上？可惜到現(xiàn)在我還找不到一個(gè)原因。

讀者可能沒有想到在五角星里就有黃金分割的現(xiàn)象存在！通常我們是作一個(gè)正五邊形后，然后連每個(gè)頂點(diǎn)就得到一個(gè)五角星出來（見圖二）。

讀者如有時(shí)間可以試試證明在圖二里：AE和AD的比值是黃金數(shù)！AB和AC的比值又是個(gè)黃金數(shù)！即B點(diǎn)把AC黃金分割，C點(diǎn)又把BD黃金分割！

這樣看來，你在畫五角星時(shí)候就已經(jīng)不知不覺和黃金數(shù)打交道了。

古時(shí)候的希臘人認(rèn)為一個(gè)人有完美的（或理想的）體型是肚臍那一點(diǎn)把頭到腳“黃金分割”。因此一些藝術(shù)家畫的人像以及古代雕塑像，大多數(shù)是以這個(gè)為比例。

而且在古時(shí)候的一些神廟，在建筑時(shí)高和闊也是按黃金數(shù)的比來建立，他們認(rèn)為這樣的長方形看來是較美觀。在現(xiàn)在希臘的雅典城里還遺留下一座公元前5世紀(jì)時(shí)的神殿的一部份。這座2000多年前的建筑今天向我們證明了希臘人是怎樣的對(duì)這個(gè)數(shù)重視。

兔子生兔子，一對(duì)一年生多少

和這個(gè)黃金分割有密切關(guān)系的是一種數(shù)列，這數(shù)列是這樣：1，2，3，5，8，13，21，…。在數(shù)學(xué)上人們稱它為“斐波那契數(shù)列”（Fibonacci Sequence）。

這個(gè)數(shù)列在數(shù)學(xué)中是最奇特和最常出現(xiàn)的數(shù)列，美國數(shù)學(xué)家出版了一份專門對(duì)它研究的季刊稱為《斐波那契季刊》（Fi-bonacci Quarterly），每三月出一次里面就是登載關(guān)于這數(shù)列最近新發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。

斐波那契是意大利13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，全名是李納都?斐波那契（Leonardo Fibonacci 1175—？），他生在比薩。從10世紀(jì)到13世紀(jì)以來，意大利的商人是聞名全歐，他們非�；钴S的在地中海沿岸活動(dòng)，把東方的奇珍異寶包括中國的絲綢從波斯人或阿拉伯人手中轉(zhuǎn)賣給歐洲各國的封建王庭和貴族。

斐波那契的父親是在北非的阿爾及利亞地方的一個(gè)海港當(dāng)海關(guān)征稅員，他雖然是一個(gè)基督教徒，但為了做生意的需要，他請(qǐng)了一個(gè)回教徒教師來教他的兒子，特別學(xué)習(xí)當(dāng)時(shí)較羅馬記數(shù)法還先進(jìn)的“印度──阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)法”以及東方的乘除計(jì)算法。因此斐波那契小時(shí)就接觸到了東方的數(shù)學(xué)。

他長大后也成了一個(gè)商人，為了做生意他走過了埃及、西西里、希臘和敘利亞，也學(xué)會(huì)了阿拉伯文，而且對(duì)東方數(shù)學(xué)注意起來。在1202年他寫了一本數(shù)學(xué)書，書名叫《Liber Abaci》，在這書里他第一個(gè)介紹印度──阿拉伯記數(shù)法，里面也有一些代數(shù)和幾何問題。他的著作深深受阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家如Al-Khowarizmi及Abu Kamil的影響。

在這書里有一個(gè)很出名的“兔子生兔子問題”：有一個(gè)人把一對(duì)兔子放在四面圍著的地方，想要知道一年后有多少對(duì)兔子生出來。假定每個(gè)月一對(duì)兔子生下另外一對(duì)。而這新的一對(duì)在二個(gè)月后就生下另外一對(duì)。

這是一個(gè)算術(shù)問題，但是卻不能用普通的算術(shù)公式算出來。讀者可以用符號(hào)A表示一對(duì)成長的兔子，B表示一對(duì)出生的兔子，我們用底下的圖來表示兔子繁殖的情形：這里實(shí)箭頭表示照樣成長，虛箭頭表示生下小兔子：

讀者知道這個(gè)月的繁殖情況，下個(gè)月的繁殖情況可以很容易寫出來，只要把這個(gè)月里的A改寫成AB（表示A還加上一對(duì)新生的兔子），而這個(gè)月的B改寫成A（表示新生小兔已成長為大兔子）。

請(qǐng)讀者自己試試寫到第十二月的情形，然后再填寫下一個(gè)表：

因此在第二年的一月一日應(yīng)該有144對(duì)新生小兔子，所以總共有兔子233+144=377對(duì)。

這個(gè)結(jié)果實(shí)在令人吃驚，在你最初看到斐波那契的問題時(shí)，你估計(jì)兔子數(shù)目字最多不會(huì)超過五十對(duì)，沒有想到兔子是繁殖這么的多。這只不過是一個(gè)假設(shè)問題，如果兔子真的是以這樣的速率生育，我們的地球可能不是“人吃兔子”而是“兔子吃人”了！

斐波那契數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)學(xué)家后來就把這數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…等等的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列以紀(jì)念這個(gè)最先得到這個(gè)數(shù)列的數(shù)學(xué)家，而且用Fn來表示這數(shù)列的第n項(xiàng)。

讀者可能早已注意到這數(shù)列有這樣的性質(zhì)：在1之后的每一個(gè)項(xiàng)是前面二項(xiàng)的和。即F1=1 F2=1，而Fn=Fn-1+Fn-2，當(dāng)n大于或等于3。

對(duì)于每個(gè)n大于等于1，我們?cè)趉2=k+1二邊同時(shí)乘上kn，我們得到等式kn+2=kn+1+kn，同樣我們也有等式（k★）n+2=（k★）n+1+（k★）n。

由這二個(gè)等式，讀者容易獲得下面的等式：
　　
　　

則我們得到
        

而對(duì)于n≥3，我們有Fn=Fn-1+Fn-2，因此我們的數(shù)列F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，…事實(shí)上就是斐波那契數(shù)列。我們有了斐波那契數(shù)列的一般項(xiàng)用黃金數(shù)的表示式：F2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，
                         

這個(gè)公式是在一百多年前由法國數(shù)學(xué)家敏聶（JacquesPhillipe Marie Binet 1786—1856）發(fā)現(xiàn)，所以稱為敏聶公式。這公式在研究斐波那契

數(shù)列的性質(zhì)時(shí)很重要。我們現(xiàn)在看這公式的一些奇異現(xiàn)象，我們知
數(shù)表示這真是奇特。另外方面，當(dāng)我們用敏聶公式來計(jì)算一些斐波那契
 
  無理數(shù)（-k★）可以表示成一個(gè)最簡單的無窮連分?jǐn)?shù)：

斐波那契數(shù)又和我們以前介紹過的賈憲三角形有密切的關(guān)系。讀者請(qǐng)參看（圖四），在賈憲三角形的第n列（在這圖里取n=10），然后由1為起點(diǎn)畫一條線和水平方向成45度的角，這條線上所經(jīng)過的數(shù)的和就是斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)。

例如在圖四里，我們有F10=1+8+21+20+5=55

我們現(xiàn)在定義一個(gè)整數(shù)函數(shù)[]：R（實(shí)數(shù)集合）→Z（整數(shù)集合），對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，[x]是最大的整數(shù)不超數(shù)學(xué)上很有用，讀者以后會(huì)再遇到它。

我們介紹這個(gè)函數(shù)的目的是要用二項(xiàng)式系數(shù)來表示斐波那契數(shù)，對(duì)于任意斐波那契數(shù)Fn+1我們有公式

例如讀者在賈憲三角形的第五列由1為起點(diǎn)畫一條和水平方向成45度的角的線，我們看到它經(jīng)過1，3，1，剛好就是

斐波那契數(shù)列有一個(gè)很奇怪的性質(zhì)，很早就引起人們注意：你拿一個(gè)固定的正整數(shù)（比如說4），然后以這數(shù)來除所有的斐波那契數(shù)，把每個(gè)斐波那契數(shù)的余數(shù)寫下來，你會(huì)發(fā)現(xiàn)到這些余數(shù)組成的數(shù)列會(huì)有周期（Period）現(xiàn)象出現(xiàn)。（對(duì)4來除的情形，你獲得1，1，2，3，1，1，1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，…等等。）

在19世紀(jì)時(shí)法國一個(gè)數(shù)學(xué)家魯卡斯（E．Lucas）在研究數(shù)論的素?cái)?shù)分布問題時(shí)發(fā)現(xiàn)和斐波那契數(shù)有些關(guān)系，而他又發(fā)現(xiàn)一種新的數(shù)列：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521等等。這數(shù)列和斐波那契數(shù)列有相同的性質(zhì)，第二項(xiàng)以后的項(xiàng)是前面二項(xiàng)的和組成。數(shù)學(xué)家們稱這數(shù)列為魯卡斯數(shù)列。

魯卡斯數(shù)和斐波那契數(shù)有密切的關(guān)系，例如對(duì)于任何的整數(shù)n，我們用Ln表示第n個(gè)魯卡斯數(shù)，那么我們恒有Ln×Fn=F2n。而魯卡斯數(shù)的一般項(xiàng)也有類似敏聶公式的公式。這里我們留下不考慮，請(qǐng)對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的讀者自己試找找看。

生物學(xué)和物理學(xué)上的斐波那契數(shù)

斐波那契數(shù)列并不是單純出現(xiàn)在“生兔子問題”。大自然里一些花草長出的枝條也會(huì)出現(xiàn)斐波那契數(shù)，有一種叫著“噴嚏麥”（Sneezewort的直譯，可能會(huì)像魯迅指出的鬧“牛奶路”Mikyway的笑話，希望懂植物學(xué)的讀者賜以正確的中文名）的花草，新的一枝從葉腋長出，而另外的新枝又從舊枝長出來，老枝條和新枝條的數(shù)目的和就像那兔子問題一樣。（看圖五）

植物學(xué)家對(duì)于植物的葉子生長分布的情形發(fā)生興趣，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)同一類植物，它們的“葉分歧”（Leaf divergence）是一樣的。從一片葉看起，你看在它上面要多少葉才剛好有一片葉長在和它相對(duì)同樣位置，這數(shù)目寫為p，另外看這些葉子是對(duì)莖來講轉(zhuǎn)了多

植物學(xué)家發(fā)現(xiàn)植物的葉分歧是和斐波那契數(shù)有關(guān)系。普通的草和菩

隔，它們能得到陽光照射進(jìn)行光合作用，而且呼吸的較好。這真是奇妙

在物理上斐波那契數(shù)也出現(xiàn)。假定我們現(xiàn)在有一些氫氣原子，一個(gè)電子最初所處的位置是最低的能級(jí)（Ground lever of energy），屬于穩(wěn)定狀態(tài)。它能獲得一個(gè)能量子或二個(gè)能量子（Quanta of energy）而使它上升到第一能級(jí)或者第二能級(jí)。但是在第一級(jí)的電子如失掉一個(gè)能量子就會(huì)下降到最低能級(jí)，它如獲得一個(gè)能量子就會(huì)上升到第二級(jí)來。

現(xiàn)在研究氣體吸收和放出能量的情形，假定最初電子是處在穩(wěn)定狀態(tài)即零能級(jí)，然后讓它吸收能量，這電子可以跳到第1能級(jí)或第2能級(jí)。然后再讓這氣體放射能量，這時(shí)電子在1級(jí)能級(jí)的就要下降到0能級(jí)，而在第2能級(jí)的可能下降到0能級(jí)或者第1能級(jí)的位置去。

我們?cè)趫D六列出：吸收、放出、吸收、放出、吸收、放出這六個(gè)過程中電子能級(jí)可能的變化情形。讀者可以看到電子所處的狀態(tài)可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…種。這是斐波那契數(shù)列的一部份。而電子所處能級(jí)的或然率在這幾種情況下又是和斐波那契數(shù)有關(guān)！