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　　作者：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校劉茂全
　　
　　天氣預(yù)報(bào)與代數(shù)式
　　
　　用語言表述代數(shù)式a-(-b+c)的意義：a與b的相反數(shù)與c的和的差．這種代數(shù)式意義的表述，不禁讓筆者想起了中央電視臺(tái)的天氣預(yù)報(bào)中的一段專業(yè)術(shù)語：“西北地區(qū)東南部中部偏北地區(qū)”，其實(shí)指的就是寧夏地區(qū)．
　　
　　中國現(xiàn)代哲學(xué)家馮友蘭在他的著作《中國哲學(xué)簡史》中有這樣一段論述：語言的作用不在于它的固定含義，而在于它的暗示，引發(fā)人去領(lǐng)悟道．一旦語言已經(jīng)完成它的暗示作用，就應(yīng)把它忘掉，為什么還要讓自己被并非必要的語言所拖累呢？詩的文字和音韻是如此，繪畫的線條和顏色也是如此[1]．
　　
　　數(shù)學(xué)有其自成系統(tǒng)的語言，精煉、簡潔而明確，不必都把它用文字語言去表述，正如不必把一段優(yōu)美的旋律用生硬的文字語言表述出來，我們可以慢慢地去聽，去品，去感受．個(gè)中體味，自己最清楚，說出來，便顯得蒼白無力，詞不達(dá)意．
　　
　　子曰得更直接：辭達(dá)而已矣．
　　
　　輪扁之禍
　　
　　《莊子?外篇》（天道第十三）記錄了這樣一段對(duì)話：
　　
　　桓公讀書于堂上．輪扁斫輪于堂下，釋椎鑿而上，問桓公曰：“敢問，公之所讀者何言邪？”
　　
　　公曰：“圣人之言也．”
　　
　　曰：“圣人在乎？”
　　
　　公曰：“已死矣．”
　　
　　曰：“然則君之所讀者，古人之糟魄已夫！”
　　
　　桓公曰：“寡人讀書，輪人安得議乎！有說則可，無說則死．”
　　
　　輪扁曰：“臣也以臣之事觀之．斫輪，徐則甘而不固，疾則苦而不入．不徐不疾，得之于手而應(yīng)于心，口不能言，有數(shù)存焉于其間．臣不能以喻臣之子，臣之子亦不能受之于臣，是以行年七十而老斫輪．古之人與其不可傳也死矣，然則君之所讀者，古人之糟魄已夫！”[2]
　　
　　大意是：
　　
　　齊桓公在堂上讀書．輪扁在堂下砍造車輪，他放下工具走到堂上，問齊桓公說：“請(qǐng)問君王讀的是什么書呢？”
　　
　　齊桓公說：“圣人的言論．”
　　
　　輪扁問：“那圣人還活著嗎？”
　　
　　齊桓公說：“已經(jīng)死去了．”
　　
　　輪扁說：“那么，君王所讀的書，乃是古人的糟粕了!”
　　
　　齊桓公說：“寡人在這里讀書，你一個(gè)車輪工人怎么能夠議論這個(gè)呢？說得對(duì)了，那還可以；說得不對(duì)，就治你死罪．”
　　
　　輪扁說：“奴才就拿奴才的工作來看：在砍造車輪的時(shí)候，榫子做得松了，就會(huì)滑利地打進(jìn)去，但不牢固；榫子做得緊了，就會(huì)感到滯澀，而打不進(jìn)去；既不松，又不緊，把技巧得在手里，應(yīng)在嘴里說不出來，其中卻有一定的分寸．我不能夠把它明明白白地告訴給我的兒子，我的兒子也不能夠明明白白地接受到我的教法．因此，奴才年紀(jì)已經(jīng)七十歲了，只好老死在砍造車輪的手藝上，古人和他們不可傳授的東西，都死去了．那么，君王所讀的書，乃是古人的糟粕了！”
　　
　　數(shù)學(xué)教學(xué)中哪些是“不可傳”的數(shù)學(xué)之“意”呢？我們又該如何處理？
　　
　　概念教學(xué)
　　
　　什么是代數(shù)式？教材一般使用列舉法．列出幾個(gè)代數(shù)式，然后，“像這樣的式子都是代數(shù)式”．對(duì)于初一的學(xué)生，顯然不適合作形式化的定義，這樣的處理是合理的．但是，列舉法又給學(xué)生一些困惑：已經(jīng)列舉出來的代數(shù)式代表哪些類型？還有哪些沒列舉出來的代數(shù)式？能否羅列出所有代數(shù)式的類型？要回答初一學(xué)生提出的這些問題，不是很容易．筆者在教學(xué)時(shí)加了一句話：代數(shù)式就是代表數(shù)的式子．也就是說，一個(gè)式子是用來表示數(shù)的，那么，它就是代數(shù)式．否則，就不是．如，“on”，如果表示英文單詞，它就不是代數(shù)式；如果是兩個(gè)數(shù)o和n的乘積，它就是代數(shù)式．這樣說，也很容易理解單獨(dú)一個(gè)數(shù)也是代數(shù)式．
　　
　　什么是同類項(xiàng)？“所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)”．那么，3x與3y是同類項(xiàng)嗎？這是學(xué)生課堂上提出的一個(gè)問題．學(xué)生認(rèn)為，3x+3y=(x+y)3.似乎也有道理．無奈之下，我脫口而出：可以合并的項(xiàng)就是同類項(xiàng)！說完了又后悔了，這算什么定義？犯了循環(huán)定義之大忌，如同說“長了豬毛的動(dòng)物是豬”一樣．但是，這樣的說法，是不是更能讓學(xué)生去體會(huì)同類項(xiàng)的“意”呢？
　　
　　由此可見，有些概念，我們不能過于糾纏于其定義表述是否“嚴(yán)謹(jǐn)”，而應(yīng)把著力點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的理解上，也就是數(shù)學(xué)的“意”的體味．
　　
　　定理法則
　　
　　定理的證明其作用有時(shí)往往不亞于定理內(nèi)容本身，而法則也有其合理性．但如何證明和理解定理和法則，有不同的方法．幫助學(xué)生理解其“意”，是關(guān)鍵所在．
　　
　　全等判定，為什么沒有“SSA”？
　　
　　對(duì)于這個(gè)問題，教者往往通過舉一個(gè)反例說明，簡捷而符合邏輯．其實(shí)，如果構(gòu)造出圖1，線段AB和∠B大小不變，線段AD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，通過動(dòng)畫演示可以看到，當(dāng)AD＞AE（AE為點(diǎn)A到直線BC的垂線段）時(shí)，與直線BC交于兩點(diǎn)M、N，△ABM和△ABN滿足條件“SSA”，但不全等．其本質(zhì)原因就在于邊AD可以繞著點(diǎn)A“旋轉(zhuǎn)”．隨著線段AD的大小變化，可以看到，其“旋轉(zhuǎn)”產(chǎn)生了不同的結(jié)果．如，當(dāng)AD=AE時(shí)，AD無法“旋轉(zhuǎn)”，與BC只有一個(gè)交點(diǎn)，于是“HL”可以作為全等的判定．而當(dāng)AD≥AE時(shí)，線段AD“旋轉(zhuǎn)”與射線BC（不包括點(diǎn)B）只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)“SSA”可以作為全等的判定．而當(dāng)AD＜AE時(shí)，由于線段AD與直線BC沒有交點(diǎn)，不能構(gòu)成三角形，因此，不能形成全等的判定．
　　
　　通過這個(gè)過程，學(xué)生不但理解了為什么沒有“SSA”的全等判定，而且知道了全等判定“HL”和“SSA”的內(nèi)在聯(lián)系，以及“SSA”可以作為全等判定的條件．這一過程，學(xué)生不必用文字去表述，達(dá)“意”即可．

圖1

　　
　　多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360?
　　
　　其證明方法有多種，怎樣才能理解其本質(zhì)？不妨把多邊形濃縮成一個(gè)點(diǎn)，讓我們繞著這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，便回到原來的狀態(tài)，而“旋轉(zhuǎn)一周”之“意”，學(xué)生便理解了多邊形的外角和為360埃?比唬?獠荒芴媧??淼鬧っ鰨?荒蘢魑?ㄖ?侄危?由疃遠(yuǎn)?淼睦斫猓?/SPAN>
　　
　　負(fù)負(fù)得正．
　　
　　這個(gè)法則無論是用“反方向運(yùn)動(dòng)”，還是用“借進(jìn)借出”，學(xué)生理解起來都很別扭．而形式化的證明更不可能．對(duì)于初一學(xué)生，更重要的是運(yùn)算，考慮到學(xué)生的“量力性”，不加選擇地要求學(xué)生知道“為什么”是不合適的．既然如此，何不處理得簡單一些？比如“開關(guān)”原理，開關(guān)兩次才能回到原來的狀態(tài)，學(xué)生很容易記�。�
　　
　　需要說明的是，筆者并不崇尚這種并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)，而是認(rèn)為在一定的教學(xué)階段可以采取這種方法，或者作為補(bǔ)充理解的手段．隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入，往往有必要作數(shù)學(xué)化解釋．
　　
　　解題教學(xué)
　　
　　數(shù)學(xué)習(xí)題有些可以純粹模仿，依據(jù)某些固定程式，按部就班就能解答．如，合并同類項(xiàng)、解一元一次方程等．而有些習(xí)題的解答，似乎都有規(guī)律可循，但卻無法程序化．我們常常有這種體會(huì)，突然間一種優(yōu)美的解題方法出來了，連自己也吃驚．至于這種思路怎么產(chǎn)生的，我們自己也說不清，這種數(shù)學(xué)之“意”，無法直接傳授給學(xué)生．
　　
　　在一次數(shù)學(xué)習(xí)題課上，筆者拋出了這樣一題：
　　
　　如圖2，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也為正方形，設(shè)△AFC的面積為S．則（）
　　
　　A．S=2B.S=2.4C.S=4D.S與BE長度有關(guān)

圖2

　　
　　筆者沒有立即“啟發(fā)”，也沒有“循循善誘”地引導(dǎo)學(xué)生解題，而是留出了足夠的時(shí)間讓學(xué)生去獨(dú)立思考．并提出了這樣幾個(gè)要求：
　　
　　1.至少給出一種解法；
　　
　　2.盡可能多地想出多種解法，并對(duì)這些解法進(jìn)行比較，哪一種解法更簡捷？
　　
　　3.你是如何利用題中信息的？
　　
　　4.你是怎么想到這些解法的？
　　
　　在隨后進(jìn)行的交流中，學(xué)生先后給出了如下思路：
　　
　　筆者沒有急于引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)FB∥AC，而是給學(xué)生提供更多、更寬泛的發(fā)散思維的機(jī)會(huì)，從而得到了豐富多彩的證明方法．通過比較反思，學(xué)生才能更多地體會(huì)到數(shù)學(xué)的“意”，積累更多的解題經(jīng)驗(yàn)．奇怪的是，發(fā)現(xiàn)思路6這一簡單證法的，并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)厲害的，而是一位數(shù)學(xué)中下水平的同學(xué)．通過了解得知，更多的學(xué)生在計(jì)算面積時(shí)按常規(guī)思路：直接計(jì)算或割補(bǔ)法，發(fā)現(xiàn)不便于直接計(jì)算，所以選擇割補(bǔ)法．出現(xiàn)這一想法，顯然是由于大量解題后的經(jīng)驗(yàn)積累．而想到思路6的同學(xué)，并無明顯的這種經(jīng)驗(yàn)積累的痕跡，只是看出圖中FB好像和AC平行，發(fā)現(xiàn)很容易證得．可見，過多的解題方法的總結(jié)，可能在解題時(shí)造成先入為主的現(xiàn)象，從而窒息或者窄化數(shù)學(xué)的“意”．這種現(xiàn)象在另一道習(xí)題的解答中也有反映．
　　
　　如圖3，四邊形ABCD和EFBG都是矩形，是否存在這樣的直線，把這個(gè)圖形的面積兩等分？如果存在，有多少條？
　　

圖3

　　
　　由于剛剛學(xué)過矩形，很多學(xué)生立即想到矩形的中心對(duì)稱性質(zhì)，得到直線MN能把圖形面積兩等分．同樣是一個(gè)數(shù)學(xué)成績一般的學(xué)生不假思索地說：無數(shù)條．他的理由是，把一條直線從任意方向平移，把圖形面積分割成兩部分，這兩部分的面積總會(huì)有由小到大，由大到小的過程，而這中間必然有相等的可能．這樣的直線由于方向可以任意放置，所以有無數(shù)條．這樣的解答過于直觀，貌似不太嚴(yán)密．但這種數(shù)學(xué)的“意”確實(shí)珍貴，值得注意和保護(hù)．
　　
　　數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們固然要重視顯性的，可表述的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法，但也不能忽視不可言傳的“意”．而這種數(shù)學(xué)之“意”的形成一般不是靠教者言傳或示范，而是靠學(xué)生通過豐富多彩的學(xué)習(xí)的過程去形成，這樣才能到達(dá)得“意”而忘言的境界．
　　
　　正如老子所言：“道可道，非常道”[3]．
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　
　　1.馮友蘭，中國哲學(xué)簡史，[M].天津社會(huì)科學(xué)院出版社，2005.10:11.
　　
　　2.楊柳橋，莊子譯注，[M].上海古籍出版社，2006.11:214～215.
　　
　　3.陳國慶、張愛東譯注，道德經(jīng)，[M].三秦出版社，1995.8:1.