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　　教學(xué)目標(biāo)：

 

                  鞏固已知三角函數(shù)，求給定自變量對應(yīng)的函數(shù)值；

                 

                   已知三角函數(shù)值，求相應(yīng)自變量的值；

                   

                   利用圖象解三角不等式；

                    

                   利用二分法求相應(yīng)方程的近似解；

                    

                   培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；

                  

                   提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實際計算的能力；

                  

　　教學(xué)重點：

 

　　用三角函數(shù)模型刻畫潮汐變化規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化的實際問題。

 

　　教學(xué)難點：

 

　　對問題實際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型。

 

　　教學(xué)媒體：

 

　　幾何畫板

 

　　教學(xué)流程：           

 

　　

 

　　教學(xué)過程：

 

　　1．情景展示，新課導(dǎo)入

 

　　【師】經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，大家知道，在客觀現(xiàn)實世界中存在著大量的周期性變化現(xiàn)象，而要定量地去刻畫這些現(xiàn)象，我們通常需要借助于三角函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)模型。這節(jié)課我們將來學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用。

 

　　（教師板書課題：§1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用）

 

　　【師】請看這樣一副畫面：這是我們所熟悉的溫州市區(qū)著名景點---江心嶼（圖1），江心嶼上面有座峙廟---江心峙（圖2），旁邊這位人物是（稍微停頓）我們溫州南宋時期著名狀元詩人---王十朋（圖3）。（學(xué)生不是很熟悉，已經(jīng)淡忘了）他在江心峙中題了一副非常知名對聯(lián)。（學(xué)生又想起來了）

 

　�。ǔ尸F(xiàn)對聯(lián)）上聯(lián)是：云朝朝朝朝朝 朝朝朝散；下聯(lián)是：朝長長 長長長 長長長消。（師生齊朗誦，課堂氣氛活躍）。

 

　　　　　

 

　　【師】在這里，詩人王十朋巧妙地運用了疊字詩展現(xiàn)了甌江潮水漲落的壯闊畫面，當(dāng)然他對甌江潮水的描述也是感性的。今天我們將從數(shù)學(xué)的視角理性地研究有關(guān)甌江潮水漲落的一些實際問題。

 

　　2．問題提出，探究解決

 

　　   【師】老師想問大家一個問題：若干年后，如果在座的各位有機(jī)會當(dāng)上船長的話，當(dāng)你的船只要到某個港口去 ，你作為船長，你希望知道關(guān)于那個港口的一些什么情況？

 

　　【生】水深情況。

 

　　【師】是的，我們要到一個陌生的港口時，是非常想得到一張有關(guān)那個港口的水深與時間的對應(yīng)關(guān)系數(shù)值表。那么這張表格是如何產(chǎn)生的呢？請同學(xué)們看下面這個問題。

 

　　問題探究1：如圖所示，下面是甌江江心嶼碼頭在某年某個季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表：

 

時間

0.00

1.00

3.00

6.00

8.00

9.00

12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

水深

5.0

6.25

7.5

5.0

2.84

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

 

　　【師】請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？

 

　　【生】（思考中）發(fā)現(xiàn)水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

 

　　【師】水的深度變化有什么特點嗎？

  高考;

　　【生】水的深度開始由5.0米增加到7.5米，后逐漸減少一直減少到2.5，又開始逐漸變深，增加到7.5米后，又開始減少。

 

　　【師】大家發(fā)現(xiàn)，水深變化并不市雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律，為了更加直觀明了地觀察出這種周期性變化規(guī)律，我們需要做什么工作呢？

 

　　【生】需要畫圖。

 

　　【師】非常好，下面大家拿出一張白紙，以時間為橫坐標(biāo)，以水深為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，將上面表格中的數(shù)據(jù)對應(yīng)點描在平面直角坐標(biāo)系中去。

 

　�。▽W(xué)生活動：作圖）

 

　　　　　　

 

　　【師】（電腦呈現(xiàn)作圖結(jié)果）大家可以發(fā)現(xiàn)如果我們用平滑的曲線將上面所描各點連起來，得到的圖象形狀，跟我們前面所學(xué)過哪個函數(shù)類型非常的鄉(xiāng)象？

 

　　【生】跟三角函數(shù)模型很象。（師板書）

 

　　【師】下面你們能把剛才同學(xué)所給的這個函數(shù)模型給求出來嗎？

 

　�。▽W(xué)生活動，求解解析式）

 

　　【生】由圖得

 

　　     

 

　　【師】這樣一來我們就得到了一個近似刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個檢驗過程（因為時間關(guān)系，老師事先已經(jīng)幫大家檢驗過了，這里就不檢驗，同學(xué)們可以下去檢驗下）有了這個模型，我們要制定一張一天24內(nèi)整時刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面同學(xué)算一下在4時的時候水深是多少？

 

　�。▽W(xué)生計算，最后教師呈現(xiàn)水深關(guān)于時間的數(shù)值表）

 

時刻

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

水深

5.000

6.250

7.165

7.500

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

5.000

時刻

13.00

14.00

15.00

16.00

17.00

18.00

19.00

20.00

21.00

22.00

23.00

24.00

水深

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

5.000

 

　　【師】有了水深關(guān)于時間的函數(shù)模型以后，作為船長考慮的問題還沒有結(jié)束，因為船只在進(jìn)出港時，每艘船只的吃水深度是不一樣，下面我們就看一看把這兩方面的情況都考慮進(jìn)去的一個問題：

 

　　問題探究2：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船何時能夠進(jìn)入港口？在港口能呆多久？

 

　　【師】貨船能夠進(jìn)入港口所需要滿足的條件是什么？

 

　�。◣熒�一起分析）

 

　　【師】只有當(dāng)“實際水深吃水深度+安全間隙”時，船只才可以進(jìn)去或離開港口。

 

　　怎樣用數(shù)學(xué)語言將這一條件給轉(zhuǎn)述出來呢？

 

　　【生】，即，

 

　　（師生齊分析）解三角不等式，通常我們是算去邊界值，然后再確定解的范圍。

 

　　【師】令

 

　　（學(xué)生活動：操作計算器計算），

 

　　【師】我們知道三角方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解就有無數(shù)個，那么在[0，24]范圍內(nèi)，其他一些解該怎么求呢？我們來看圖象情況。（電腦呈現(xiàn)圖象）

 

　　　　　　　

 

　　發(fā)現(xiàn)：在[0，24]范圍內(nèi)，方程的解一共有4個，從小到大依次記為：

 

　　那么其他三個值如何求得呢？（學(xué)生思考）

 

　　

 

　　【師】得到了4個交點的橫坐標(biāo)值后，大家結(jié)合圖象說說貨船應(yīng)該選擇什么時間進(jìn)港？什么時間出港呢？

 

　　（學(xué)生討論，交流）

 

　　【生1】貨船可以在0時30分鐘左右進(jìn)港，早晨5時30分鐘左右出港；或者是中午12時30分鐘左右進(jìn)港，在傍晚17時30分鐘左右出港。

 

　　【生2】貨船可以在0時30分鐘左右進(jìn)港，可以選擇早晨5時30分，中午12時30分，或者傍晚17時30分左右出港。

 

　　【師】上面兩位同學(xué)分別給出了兩種不同的進(jìn)出港時間方案，同學(xué)們說說看，哪一種情況更符合實際或者說更安全。

 

　　（學(xué)生討論，最后確定方案1為安全方案，因為當(dāng)實際水深小于安全深度時，貨船盡管沒有行駛，但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥，即使后來水位上漲，也很可能船身不再上�。�

 

　　【師】大家看看剛才整個過程，貨船在進(jìn)港，在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃深深度一直沒有改變，也就是說貨船的安全深度一直沒有改變，但是實際情況往往是貨船載滿貨物進(jìn)港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學(xué)的知識我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會上浮，換句話說，隨著貨物的卸載，貨船的安全深度不再向開始那樣一直是一個常數(shù)，現(xiàn)在它也是一個關(guān)于時間的變量，而實際水深也一直在變化，這樣一來當(dāng)兩者都在改變的時候，我們又改如何選擇進(jìn)出港時間呢？請看下面問題：

 

　　問題探究3：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

 

　　【師】題目中“必須停止卸貨”，是在貨船即將面臨什么危險的時候呢？

 

　　（學(xué)生討論）

 

　　【生】當(dāng)實際水深快要小于或等于安全水深的時候，就必修停止卸貨。

 

　　【師】那么我們先把貨船安全需要滿足的條件給寫出來：

 

　　安全即需要：實際水深安全水深

 

　　 即：，

 

　　【師】這樣的不等式大家會解嗎？

 

　　【生】不會

 

　　【師】用代數(shù)的方法不會解的時候，我們不妨從幾何的角度來考慮這個問題。（電腦作圖并呈現(xiàn)）

 

　　

 

　　通過圖象可以看出，當(dāng)快要到P時刻的時候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。

 

　　那么P點的坐標(biāo)如何求得呢？

 

　�。▽W(xué)生思考，討論，交流）

 

　　【師】P點橫坐標(biāo)即為方程解，很顯然，精確解我們是無法求得，我們只能是求得其近似解，同學(xué)們回憶回憶，前面我們在求方程的近似解的時候通常采用什么方法？

 

　　【生】二分法，

 

　　【師】如何用二分法求得近似解呢？

 

　�。◣熒�一道分析）

 

　　由圖得點P在[6，7]，故我們只需要算出6，6.5，7三個時刻的安全水深與實際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問題。

 

時間

實際水深

安全水深

是否安全

6．0

5米

4．3米

安全

6．5

4．2米

4．1米

較安全

7．0

3．8米

4．0米

危險

 

　　貨船應(yīng)該在6時30分駛離港口。（可能有的同學(xué)有些異議，可以討論）

 

　　【師】從這這個問題可以看出，如果有時候時間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過程中，就會出現(xiàn)貨還沒有卸完，不得已要暫時駛離港口，進(jìn)入深水區(qū)，等水位上帳后在駛回來。這樣對老板來說就會造成才力、物力上的巨大浪費？這顯然不是老板愿意看到的。那改怎么來做呢？

 

　　（學(xué)生討論）

 

　　【生】可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。

 

　　【師】看下面這個問題：

 

　　問題探究4：若船的吃水深度為4米，安全間隙為1。5米，該船在2：00開始卸貨，貨物卸空后吃水深度為2米，為了保證進(jìn)入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每小時吃水深度至少要以多少速度減少？

 

　�。▽W(xué)生課后探究）

 

　　　　　　　　　

 

　　3．課時小結(jié)，認(rèn)識深化

 

　�。◣熒�一起歸納）

 

　　3-1回顧我們整個探究過程，經(jīng)歷了這么幾個階段

 

　　 第一階段：收集數(shù)據(jù)-----畫散點圖（為了更加直觀形象揭示變化規(guī)律）

 

　　第二階段：根據(jù)圖象特征---選擇適當(dāng)函數(shù)類型，并求得函數(shù)類型

 

　　第三階段：函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用

 

　　3-2 在整個探究過程，我們用到數(shù)學(xué)常見的一些思想方法：

 

　�。�1）對實際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；

 

　�。�2）在對一些數(shù)據(jù)處理的過程用到了估算的思想；

 

　�。�3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想；

 

　�。�4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。

 

　　【師】這節(jié)課我們利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)處理了實際生活中貨船進(jìn)出港問題，這只是三角函數(shù)在實際生產(chǎn)、生活中應(yīng)用的“冰山一角”，希望大家在學(xué)習(xí)的過程做個有心人，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待身邊的一些自然和社會現(xiàn)象，同時并努力去嘗試用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識處理一些實際問題。

 

　　4．作業(yè)布置，延時探究

 

　　4-1 電視臺的不同欄目播出的時間周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一個星期播出一次。請查閱當(dāng)?shù)氐碾娨暪?jié)目預(yù)告，統(tǒng)計不同欄目的播出周期。

 

　　4-2 請調(diào)查我們溫州地區(qū)的每天的用電情況，制定一項“消蜂平谷”的電價方案。

 

　　4-3 一個城市所在的經(jīng)度和緯度是如何影響日出和日落的時間的？收集其他有關(guān)數(shù)據(jù)，并提供理論證據(jù)支持你的結(jié)論。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaozhong/79677.html

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