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一. 本周教學(xué)內(nèi)容：圓的方程，空間兩點的距離公式

教學(xué)目的：

1. 理解并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會根據(jù)不同條件求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練求出它的圓心和半徑；能夠運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實際問題；探索并掌握圓的一般方程，會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。

2. 能夠根據(jù)給定直線、圓的方程，會用代數(shù)討論直線與圓的三種位置關(guān)系；能夠根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系。

3. 掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，會根據(jù)坐標(biāo)找相應(yīng)的點，會寫一些簡單幾何題的有關(guān)坐標(biāo)；掌握空間兩點的距離公式，會應(yīng)用距離公式解決有關(guān)問題。

二. 重點、難點

重點：

1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及會根據(jù)不同條件求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程和如何由圓的一般方程求圓的圓心坐標(biāo)和半徑長，理解關(guān)于二元二次方程表示圓的條件。

2. 直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用；兩圓位置關(guān)系的判斷。

3. 空間直角坐標(biāo)系和點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；空間兩點距離公式。

難點：

1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的探尋過程和對圓的一般方程的認(rèn)識。

2. 通過圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系；通過兩圓方程聯(lián)立方程組的解來研究兩圓位置關(guān)系。

3. 確定點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；空間距離公式的推導(dǎo)。

分析：

（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1. 圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓。定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑。

2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為 ；

若點M（x1，y1）在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑，即

（二）圓的一般方程

任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：

②

當(dāng) ）為圓心，以 時，方程①只有實數(shù)解 高中生物 ）；

當(dāng) 時，方程①表示一個圓，方程①叫做圓的一般方程。

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：

（1）<0" > 和<1" > 的系數(shù)相同，且不等于0；

（2）沒有xy這樣的二次項。

以上兩點是二元二次方程 ；

（2）過圓 ；

（3）過圓

3. 直線與圓的位置關(guān)系中的三個基本問題

（1）判定位置關(guān)系。方法是比較d與r的大小。

（2）求切線方程。若已知切點M（x0，y0），則切線方程為

；

若已知切線上一點N（x0，y0），則可設(shè)切線方程為

（四）圓與圓的位置關(guān)系

1. 圓與圓的位置關(guān)系問題

判定兩圓的位置關(guān)系的方法有二：第一種是代數(shù)法，研究兩圓的方程所組成的方程組的解的個數(shù)；第二種是研究兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。第一種方法因涉及兩個二元二次方程組成的方程組，其解法一般較繁瑣，故使用較少，通常使用第二種方法，具體如下：

圓 的位置關(guān)系，其中

當(dāng) 時，兩圓外離；

當(dāng) 時，兩圓外切；

當(dāng) 時，兩圓相交；

當(dāng) 時，兩圓內(nèi)含

注意：兩圓的位置關(guān)系可表示在一條數(shù)軸上，如圖所示：

兩圓位置關(guān)系的問題同直線與圓的位置關(guān)系的問題一樣，一般要轉(zhuǎn)化為距離間題來解決。另外，我們在解決有關(guān)圓的問題時，應(yīng)特別注意，圓的平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

2. 兩圓相交問題

（1）過兩已知圓

即 ，表示過兩圓的交點的直線（當(dāng)兩圓是同心圓時，此直線不存在），當(dāng)兩圓相交時，此直線為公共弦所在直線；當(dāng)兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線；當(dāng)兩圓相離時，此直線為與兩圓連心線垂直的直線。

（2）過直線與圓交點的圓系方程

設(shè)直線 相交，則方程l與圓C的兩個交點的圓系方程。

（五）空間直角坐標(biāo)系

1. 空間直角坐標(biāo)系

為了確定空間點的位置，我們在空間中取一點O作原點，過O點作三條兩兩垂直的數(shù)軸，通常用x、y、z表示．軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合。這時，我們在空間建立了一個直角坐標(biāo)系O－xyz。在這個過程中，三條坐標(biāo)軸兩兩垂直是建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)。

2. 點P的坐標(biāo)

過點P作一個平面平行于平面yOz（這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于x軸），這個平面與x軸的交點記為P，它在x軸上的坐標(biāo)為x，這個數(shù)x就叫做點P的x坐標(biāo)。你能試述點P的y坐標(biāo)，點P的z坐標(biāo)嗎？

3. 坐標(biāo)平面

每兩條坐標(biāo)軸分別確定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐標(biāo)平面。

4. 特殊點的坐標(biāo)形式

xOy平面是坐標(biāo)形如（x，y，0）的點構(gòu)成的點集，其中x、y為任意實數(shù)；

xOz平面是坐標(biāo)形如（x，0，z）的點構(gòu)成的點集，其中x、z為任意實數(shù)；

yOz平面是坐標(biāo)形如（0，y，z）的點構(gòu)成的點集，其中y、z為任意實數(shù)；

x軸是坐標(biāo)形如（x，0，0）的點構(gòu)成的點集，其中x為任意實數(shù)；

y軸是坐標(biāo)形如（0，y，0）的點構(gòu)成的點集，其中y為任意實數(shù)；

z軸是坐標(biāo)形如（0，0，z）的點構(gòu)成的點集，其中z為任意實數(shù)。

5. 卦限

三個坐標(biāo)平面把空間分為八部分，每一部分稱為一個卦限。

在坐標(biāo)平面xOy上方分別對應(yīng)該坐標(biāo)平面上四個象限的卦限稱為第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限稱為第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每個卦限內(nèi)點的坐標(biāo)各分量的符號是不變的。例如在第Ⅰ卦限，三個坐標(biāo)分量x、y、z都為正數(shù)；在第Ⅱ卦限，x為負(fù)數(shù)，y、z均為正數(shù)。

（六）空間兩點的距離公式

空間兩點A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距離公式是

特別的，點A（x，y，z）到原點的距離為

【典型例題】

例1. 求滿足下列條件的各圓的方程：

（1）圓心在原點，半徑是3；

（2）圓心在點C（3，4），半徑是 ；

（3）

因為圓與坐標(biāo)軸相切，故圓心滿足 ，

又圓心在直線 ，

解方程組 ，得：

所以圓心坐標(biāo)為（4，4），或（1，－1）

于是可得半徑 或 。

（5）設(shè)圓心為（a,－2a）由題意，圓與直線

解得：a＝1

所以所求圓的圓心為（1，－2），半徑為

故圓的方程為 ，則

解得

法二：因為圓過A（5，2），B（3，－2）兩點，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，線段AB的垂直平分線方程為

解得

所求圓的方程為

又圓C與y軸相切得 ①

又圓心在直線 上， ②

圓心C（a，b）到直線 ③

聯(lián)立①②③解方程組可得

或

將A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）三點的坐標(biāo)代入圓的方程

得

點評：一般來說，由題意知道所求的圓經(jīng)過幾點且不易得知圓心換半徑時，常用一般式。

例5. 已知圓

由 消去y，得

即

（1）令

當(dāng) 或 ，即 時，直線與圓相交

（3）令 或 或 ，即 ， 或 時，即 即 ，即

即 時直線與圓相離

點評：解決直線與圓的位置關(guān)系，幾何法比代數(shù)法簡單。

例6. 已知直線 ，曲線 ，它們有兩個公共點，求b的取值范圍。

解析：法一，曲線C中，l和C有兩個公共點，等價于方程組 有兩組不同解，又等價于 ，有兩組不同解，消去x得l有兩個公共點，等價方程有兩個不等非負(fù)實數(shù)解

于是

解得 表示單位圓位于x軸及其上方的半圓，如圖所示。當(dāng)l與C有兩交點，此時b＝1，記為 與半圓相切時，切線記為 ；當(dāng) 與 之間時， 。

， 解析：法一

解方程組

得交點坐標(biāo)分別為（0，2）（－4，0）

設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，－a）

則

解得

法二：同法一，得兩已知圓的交點的坐標(biāo)為（0，2），（－4，0）

設(shè)所求的圓的方程為

解得

法三，設(shè)所求圓的方程為

因為這個圓的圓心在直線 上

所以

圓的方程為1、點（2，0，3）在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在（ ）

A. y軸上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限內(nèi)

2、點M（2，－3，1）關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是（ ）

A. （－2，3，－1） B. （－2，－3，－1）

C. （2，－3，－1） D. （－2，3，1）

3、設(shè)點B是點A（2，－3，5）關(guān)于xOy面的對稱點，則AB等于（ ）

A. 10 B. D. 38

4、設(shè)有圓M： ，點P（2，1），那么（ ）

A. 點P在直線l上，但在圓M上

C. 點P在直線l上，也不在圓M上

5、設(shè)M是圓 上的點，則M到直線 的最小距離是（ ）

A. 9 B. 8 C. 5 D. 2

6、方程A.

C.

7、過點P（3，0）能有多少條直線與圓A. 0條 B. 1條 C. 2條 D. 1條或2條

8、直線 被圓A. B. 2 C. D.

9、直線 所截得線段的中點坐標(biāo)是（ ）

A. D. 10、若圓 關(guān)于直線 對稱，那么直線 的方程是（ ）

A. B.

C. D.

11、與兩坐標(biāo)軸都相切，且過點（2，1）的圓的方程是____________________

12、過點（0，0），（1，0），（0，2）的圓的方程是__________________________

13、若實數(shù)x ，y滿足 ，則 ，則 的最大值為__________________

15、一圓過點P（－4，3），圓心在直線 相切，且和直線 ，求該圓的方程。

【答案】

1～10：C A A A D D A C A D

11、 13、 14、 ，

依題意，得：

解得：

所以所求圓的方程為

16、設(shè)此圓的方程為 ，

解得：

所以所求圓的方程是

或 或

17、設(shè)⊙P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為b，a，由題設(shè)知⊙P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，知⊙P截x軸所得的弦長為 r，故2b＝ r，得：r2=2b2

又⊙P被y軸解得的弦長為2，由勾股定理得：r2＝a2＋1，得：2b2－a2＝1。

又因為P（a,b）到直線x－2y＝0的距離為 ，即有

解得： ，于是r2＝2b2＝2

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