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第2章 命題與證明檢測題
（時間：90分鐘，分值：100分）
一、（每小 題3分，共30分）
1. 下面四個定義中不正確的是（　�。�
A.數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值
B.有一組鄰邊相等的四邊形叫菱形
C.有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫正方形
D.兩腰相等的梯形叫等腰梯形
2.有如下命題：①無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；②一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；
③無理數(shù)包括正無理數(shù)，0，負(fù)無理數(shù)；④如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是l或0．其中錯誤的個數(shù)是（　�。�
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
　 A．一組對角相等　 B．對角線互相平分
C．一組對邊相等　 D．對角線互相垂直
4.有下列四個命題:
(1)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
(2)兩條對角線相等的四邊形是菱形；
(3)兩條對角線互相垂直的四邊形是正方形；
(4)兩條對角線相等且互相垂直的四 邊形是正方形.其中正確的個數(shù)為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.若四邊形的兩條對角線相等，則順次連接該四邊形各邊中點所得的四邊形是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6. 如圖，在△ 中， 的垂直平分線分別交 于點 ， 交 的延長線于點 ，已知∠ °， ， ，則四邊形 的面積是（　　）
A. B. C. D.

7.如圖，小亮用六塊形狀、大小完全相同的等腰梯形拼成一個四邊形，則圖中 的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．

8.用反證法證明“△ 中，若 ，則 ”，第一步應(yīng)假設(shè)（　�。�
A. B. C. D.
9.如圖，將一個長為 ，寬為 的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰 邊中點的連線（虛線）剪下，將剪下的部分打開，得到的菱形的面積為（ ）
A. B． C． D．

10. 如圖是一張矩形紙片 ， ，若將紙片沿 折疊，使 落在 上， 點 的對應(yīng)點為點 ，若 ，則 （　�。�
A． B． C． D．

二、題（每小題3分，共24分）
11. 如圖，在四邊形 中，已知 ，再添加一個條件___________（寫出一個即可），則四邊形 是平行四邊形．(圖形中不再添加輔助線)

12.命題：“如果 ，那么 ”的逆命題是________________，該命題是_____命題（填真或假）．

13.如圖， 在菱形 中，對角線 相交于點 ，若再補充一個條件能使菱形 成為正方形，則這個條件是 （只填一個條件即可）．

14.如圖，在△ 中 ， 分別是∠ 和∠ 的角平分線，且 ∥
， ∥ ，則△ 的周長是_______

15.如圖，矩形 的對角線 ， ，則圖
中五個小矩形的周長之和為_______．
16.如圖，在等腰梯形 中， ∥ ， = ， ，
∠ ， ，則上底 的長是_______ .
17.有下列命題：①若 ，則 ；②若 ，則 ；③一元二次方程 ，若 ＜ ，則方程必定有實數(shù)根；④若 ，則 ＞ ，其中是真命題的是______．
18.有這樣一個游戲：把100根火柴堆在一起，兩人輪流取火柴，每人每次最少取1根，最多取10根，誰能取到最后剩下的火柴，誰就是勝者，則先取者為戰(zhàn)勝對手，第一次應(yīng)取____根火柴．
三、解答題（共46分）
19.(5分)如圖，在△ 中， 兩點 分別在 和 上，求證： 不可能互相平分．
20. (8分)已知 是整數(shù)， 能被 整除，求 證： 和 都能被 整除．(用反證法證明)

21.（5分）已知：如圖，在平行四邊形 中，對角線 相交于點 ， 過點 分別交 于點 求證： .
22.（9分）如圖，在△ 中，∠ ， 的垂直平分線 交 于 ，交 于 ，
在 上，且 ．
⑴求證：四邊形 是平行四邊形；
⑵當(dāng)∠ 滿足什么條件時，四邊形 是菱形，并說明理由．

23.（5分）已知：如圖，在 中， 、 是對角線 上的兩點，且 求證：
24.（5分）已知：如圖， ， 是 上一點， 于 ， 的延長線交 的延長線于 .求證：△ 是等腰三角形．

25.（9分）已知：如圖，在△ 中， ， ，垂足為 ， 是△ 外角∠ 的平分線， ，垂足為 .
（1）求證：四邊形 為矩形；
（2）當(dāng)△ 滿足什么條件時，四邊形 是一個正方形？并給出證明．
矩形 是正方形．

第2章 命題與證明檢測題參考答案
1.B 解析：A、C、D都正確，B.由圖可知，四邊形符合B項的要求，
但不是菱形.
2.D 解析：①開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，但無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)是錯誤的，例如 故①錯誤；②一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，還可能是0，故②錯誤；③無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，不包括0，故③錯誤；④如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是l，0，或 ，故④錯誤.故選D．
3.B 解析：利用平行四邊形的判定定理知B正確.
4.D 解析：只有（1）正確，（2）（3）（4）錯誤.
5.C 解析：由四邊形的兩條對角線相等，知順次連接該四邊形各邊中點所得的四邊形的四條邊相等，即所得四邊形是菱形.
6.A 解析：∵ 是 的垂直平分線， 是 的中點，∴ ∥ ，
∴ ∠ ，∴ 四邊形 是矩形．
∵∠ °，∠ °， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 四邊形 的面積為 ．
7.A 解析：觀察圖形可知等腰梯形的三個鈍角之和為 所以等腰梯形的鈍角為 ，所以 .
8.D 解析： 與 的大小關(guān)系有 ， ， 三種情況，因而 的反面是 ．因此用反證法證明“ ”時，應(yīng)先假設(shè) ．故選D．
9.A 解析：由題意知 4 ， 5 ，
10.A 解析：由折疊知 ，四邊形 為正方形，∴ .
11. ∥ 或 ∠ ∠ 或∠ ∠ (答案不唯一)
12.如果 ，那么 假 解析：根據(jù)題意得，命題“如果 ，那么 ”的條件是“ ”，結(jié)論是“ ”，故逆命題是“如果 ，那么 ”，該命題是假命題．
13. （或 ， 等）
14. 解析：∵ 分別是∠ 和∠ 的角平分線，
∴ ∠ ∠ ，∠ ∠ .
∵ ∥ ， ∥ ，∴ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，∴ ， ，
∴ △ 的周長 ．
15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ， ，所以 所以五個小矩形的周長之和為
16.2 解析：∠ ，∵ 等腰梯形 中，∠ ∠ ，
又∠ ∠ ∠ ∵ ∥ ∴∠ ∠ ∠ .
∴ .
17. ③ 解析：由 ，得 ，可以求出很多結(jié)果，故①是假命題；由 ，得 或 ，故②是假命題；在一元二次方程中，若判別式 ，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，因為 ，則判別式 一定大于 ，故③是真命題；若 ，則 ，故④是假命題．
18.1 解析：因為每人每次取的火柴不能超過10根，所以先取者只需到最后一次給后取者剩下11根，因此，不管后取者取多少根，最后的贏家定是先取者．為此，先取者取后留下的根數(shù)為11的倍數(shù)，即99，88，77，66，44，33，22，11．所以先取者為戰(zhàn)勝對手，第一次應(yīng)取1根火柴．故答案為1．

19.證明：假設(shè) 可以互相平分，
連接 ，則四邊形 是平行四邊形，
∴ ∥ ，與△ 相矛盾.
∴ 不可能互相平分．
20.證明：如果 不都能被 整除，那么有如下兩種情況：
（1） 兩數(shù)中恰有一個能被 整除，
不妨設(shè) ， ，
令 ， ，于是
，
不是3的倍數(shù)，與已知矛盾.
（2） 兩數(shù)都不能被 整除，令 ， ，則

，
不能被 整除，與已知矛盾.
由此可知， 都是 的倍數(shù)．
21.證明：∵ 四邊形 是平行四邊形，∴ ∥ ， ，
∴ ∴ △ ≌△ ，故 .
22.（1）證明：由題意知∠ ∠ ，
∴ ∥ ，∴ ∠ ∠ .
∵ ，∴∠ ∠AEF =∠EAC =∠ECA .
又∵ ，∴ △ ≌△ ，∴ ，∴ 四邊形 是平行四邊形 ．
（2）解：當(dāng)∠ 時，四邊形 是菱形 ．理由如下：
∵ ∠ ，∠ ，∴ . ∵ 垂直平分 ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平行四邊形 是菱形．
23.證明:∵ 四邊形 是平行四邊形,∴
∴ .
在 和 中， ，
∴ ，∴ .
24.證明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ 于 ，∴ ∠ ∠ ．
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.
25.（1）證明：在△ 中， ， ，∴ ∠ ∠ .
∵ 是△ 外角∠ 的平分線，
∴ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ∠ .
又∵ ， ，∴ ∠ ∠ ，∴ 四邊形 為矩形． （2）解：給出正確條件即可．
例如，當(dāng) 時，四邊形 是正方形．
∵ ， 于 ，∴ .
又∵ ，∴ .
由（1）四邊形 為矩形，∴ 矩形 是正方形．