2015中考分類(lèi)圓解析
一．選擇題
（2015•嘉興）下列四個(gè)圖形分別是四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形的有（ ）
（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)
考點(diǎn)：中心對(duì)稱(chēng)圖形．.
分析：根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的概念對(duì)各圖形分析判斷即可得解．
解答：解：第一個(gè)圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，
第二個(gè)圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，
第三個(gè)圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，
第四個(gè)圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，
所以，中心對(duì)稱(chēng)圖有2個(gè)．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
1.（菏澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y= x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,作AB⊥x軸于點(diǎn)B，將?ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到?CBD，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為A
1.（福建龍巖）如圖，等邊△ABC的周長(zhǎng)為6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時(shí)針?lè)较蜓厝切螡L動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，則⊙O自轉(zhuǎn)了（ ）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
2.（蘭州）如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的⊙P與 、 軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧 上一點(diǎn)，則∠ACB=
A. 80° B. 90° C. 100° D. 無(wú)法確定
3.（蘭州）如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)（P與A，B，C，D不重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過(guò)45°時(shí)，點(diǎn)Q走過(guò)的路徑長(zhǎng)為
A. B. C. D.
4.(廣東) 如題9圖，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形 (忽略鐵絲的粗細(xì))，則所得的扇形DAB的面積為
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D.
【解析】顯然弧長(zhǎng)為BC＋CD的長(zhǎng)，即為6，半徑為3，則 .
5.（廣東梅州）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙Or切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過(guò)圓心.若∠B=20°，則∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C． 40° D．50°
考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．.
分析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得∠C的度數(shù)．
解答：解：如圖，連接OA，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知切線時(shí)常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
6.（汕尾）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過(guò)圓心。若∠B=20°，則∠C的大小等于
A.20° B.25° C.40° D.50°
7.（貴州安順）如上圖⊙O的直徑 垂直于弦 ，垂足是 ， ， ， 的長(zhǎng)為（ ）
A． B．4 C． D．8
8.（河南）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓O1，O2，O3，… 組成一條平滑的曲線，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2015秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）
A.（2014,0） B.（2015，-1）
C. （2015,1） D. （2016,0）
9.（湖南常德）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝100°，
則∠BCD的度數(shù)為：
A、50° B、80° C、100° D、130°
【解答與分析】圓周角與圓心角的關(guān)系，及圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)
：答案為D
10.（常德）若兩個(gè)扇形滿足弧長(zhǎng)的比等于它們半徑的比，則這稱(chēng)這兩個(gè)扇形相似。如圖，如果扇形AOB與扇形 是相似扇形，且半徑 ( 為不等于0的常數(shù))。那么下面四個(gè)結(jié)論：
①∠AOB＝∠ ；②△AOB∽△ ；③ ；
④扇形AOB與扇形 的面積之比為 。成立的個(gè)數(shù)為：
A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)
【解答與分析】這是一個(gè)閱讀，扇形相似的意義理解，由弧長(zhǎng)公式＝ 可以得到：
① ②③正確，由扇形面積公式 可得到④正確
②
11.（湖南株洲）如圖，圓O是△ABC的外接圓，∠A＝68°，則∠OBC的大小是
A、22° B、26° C、32° D、68°
【試題分析】
本題考點(diǎn)為：通過(guò)圓心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形AOC求出∠OBC的度數(shù)
答案為：A
12（黔西南州）如圖2，點(diǎn)P在⊙O外，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，∠P=50°，則∠AOB等于
A．150° B．130° C．155° D．135°
13.（青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則∠PAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
14.（臨沂）如圖A，B，C是 上的三個(gè)點(diǎn)，若 ，則 等于
(A) 50°. (B) 80°.
(C) 100°. (D) 130°.
15（上海）如圖，已知在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，要使四邊形OACB為菱形，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（ ）
A、AD＝BD； B、OD＝CD；
C、∠CAD＝∠CBD； D、∠OCA＝∠OCB．
【答案】B
【解析】因OC⊥AB，由垂徑定理，知AD＝BD，若OD＝CD，則對(duì)角線互相垂直且平分，所以，OACB為菱形。
16（深圳）如圖，AB為⊙O直徑，已知為∠DCB=20o,則∠DBA為（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】AB為⊙O直徑，所以，∠ACB=90o，∠DBA＝∠DCA＝
17（成都）如圖，正六邊形 內(nèi)接于圓 ，半徑為 ，則這個(gè)正六邊形的邊心距 和
弧 的長(zhǎng)分別為
（A） 、 （B） 、
（C） 、 （D） 、
【答案】：D
【解析】在正六邊形中，我們連接 、 可以得到 為等邊三角形，邊長(zhǎng)等于半徑 。因?yàn)?為邊心距，所以 ，所以，在邊長(zhǎng)為 的等邊三角形中，邊上的高 �；� 所對(duì)的圓心角為 ，由弧長(zhǎng)計(jì)算公式： ，選D。
18（瀘州）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，若∠C=65°，則∠P的度數(shù)為
A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°
考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．.
分析：由PA與PB都為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出兩個(gè)角為直角，再由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，由已知∠C的度數(shù)求出∠AOB的度數(shù)，在四邊形PABO中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求出∠P的度數(shù)．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
則∠P=360°?（90°+90°+130°）=50°．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角與外角，以及圓周角定理，熟練運(yùn)用性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．
19(四川自貢) 如圖， 是⊙O的直徑，弦 ,則
陰影部分的面積為 （ ）
A. B. C. D.
考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì)、垂徑定理，勾股定理、扇形的面積公式、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等.
分析：本題抓住圓的相關(guān)性質(zhì)切入把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化到一個(gè)扇形中來(lái)求.根據(jù)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形和垂徑定理，利用題中條件可知 是弦 的中點(diǎn), 是弧 的中點(diǎn)；此時(shí)解法有三：
解法一，在弓形CBD中，被EB分開(kāi)的上面空白部分和下面的陰影部分的面積是相等的，所以陰影部分的面積之和轉(zhuǎn)化到扇形COB來(lái)求；解法二，連接OD,易證△ ≌△ ，所以陰影部分的面積之和轉(zhuǎn)化到扇形BOD來(lái)求；解法三，陰影部分的面積之和是扇形COD的面積的一半.
略解：
∵ 是⊙O的直徑，
∴ 是弦 的中點(diǎn), 是弧 的中點(diǎn)（垂徑定理）
∴在弓形CBD中，被EB分開(kāi)的上下兩部分的面積是相等的(軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì))
∴陰影部分的面積之和等于扇形COB的面積.
∵ 是弦 的中點(diǎn)， ∴ ∵ ∴
∴ , . 在Rt△ 中，根據(jù)勾股定理可知：
即 .
解得: ; 扇形COB = .即 陰影部分的面積之和為 .故選D.
20.（云南）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié) 論中不成立的是( )
A．∠A?∠D B．CE?DE C．∠ACB?90° D．CE?BD
21（杭州）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A=70°，則∠C=( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
【答案】D．
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
【分析】∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A=70°，
∴根據(jù)圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)的性質(zhì)，得∠C=110°.
故選D．
22（嘉興）.如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則?C的
半徑為（▲）
（A）2.3 （B）2.4
（C）2.5 （D）2.6
考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．.
分析：首先根據(jù)題意作圖，由AB是⊙C的切線，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后由S△ABC= AC•BC= AB•CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長(zhǎng)．
解答：解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如圖：設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD，
∵AB是⊙C的切線，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
即CD= = = ，
∴⊙C的半徑為 ，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
二．填空題
1.（安順）如圖，在□ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，則陰影部分的面積是_________（結(jié)果保留π）．3? π
2.（孝感）已知圓錐的側(cè)面積等于 cm2，母線長(zhǎng)10cm，則圓錐的高是 cm．8
3.（常德）一個(gè)圓錐的底面半徑為1厘米，母線長(zhǎng)為2厘米，則該圓錐的側(cè)面積是 （結(jié)果保留π）。
【解答與分析】此題考的是圓錐側(cè)面積的求法公式：
4. （常德）已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1,3），將A點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針90°，
則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【解析】此題考點(diǎn)為坐標(biāo)點(diǎn)的變換規(guī)律，作出草圖如右
可知△BCO≌△EDO，故可知BC＝OE，OC＝DE
答案為：（3,1）
5.（湖南衡陽(yáng)）圓心角為120°的扇形的半徑為3，則這個(gè)扇形的面積為 （結(jié)果保留 ）．
6. （2015•益陽(yáng)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則 的長(zhǎng)為 �。�
考點(diǎn)： 弧長(zhǎng)的計(jì)算；正多邊形和圓．
分析： 求出圓心角∠AOB的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式解答即可．
解答： 解：∵ABCDEF為正六邊形，
∴∠AOB=360°× =60°，
的長(zhǎng)為 = ．
故答案為： ．
點(diǎn)評(píng)： 此題將扇形的弧長(zhǎng)公式與多邊形的性質(zhì)相結(jié)合，構(gòu)思巧妙，利用了正六邊形的性質(zhì)．
7.（江西）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D，∠A＝50°，∠B＝30°，則∠ADC的度數(shù)為 ．
解析：∵∠A=50°, ∴∠BOC=100°, ∴∠BOD=80°, ∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+ 80°=110°
8.（呼和浩特）一個(gè)圓錐的側(cè)面積為8π，母線長(zhǎng)為4，則這個(gè)圓錐的全面積為_(kāi)_________.12π
9.（黔西南州）如圖6，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，則 ∠B= ．40°
10.（黔西南州）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積是 ．
11.（黔西南州）如圖8，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD=4，AE=1，則⊙O 的半徑為 ．
13．12.（青島）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠A＝55°，∠E=30°，則∠F= ．
14.（東營(yíng)）如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m，其中水面的寬AB為0.8m，則排水管內(nèi)水的深度為 0.8 m．
15（瀘州）用一個(gè)圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是 .
考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．.
分析：易得扇形的弧長(zhǎng)，除以2π即為圓錐的底面半徑．
解答：解：扇形的弧長(zhǎng)= =4π，
∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：考查了扇形的弧長(zhǎng)公式；圓的周長(zhǎng)公式；用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)．
16.（四川自貢）已知， 是⊙O的一條直徑 ，延長(zhǎng) 至 點(diǎn)，使 , 與⊙O相切于 點(diǎn)，若 ,則劣弧 的長(zhǎng)為 .
考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股
定理、弧長(zhǎng)公式等.
分析：本題劣弧 的長(zhǎng)關(guān)鍵是求出圓的半徑和劣弧 所對(duì)的
圓心角的度數(shù).在連接OD后，根據(jù)切線的性質(zhì)易知 ,圓的半徑和圓心角的度數(shù)可以通過(guò)Rt△ 獲得解決.
略解：連接半徑OD.又∵ 與⊙O相切于 點(diǎn) ∴ ∴
∵ ∴ ∴ 又
∴ ∴在Rt△ ∴
∴ ∴在Rt△ 根據(jù)勾股定理可知： ∵
∴ 解得：
則劣弧 的長(zhǎng)為 . 故應(yīng)填
17（紹興）．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，先以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以AB邊的中點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，則兩弧之間的陰影部分面積是__ ____（結(jié)果保留 ）
三．解答題
1.（福建龍巖）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在⊙O上，連接CD，且CD=OA，OC= .
求證：CD是⊙O的切線.
證明：連接OD，由題意可知CD=OD=OA= AB=2
∴OD2+CD2=OC2
∴△OCD為直角三角形，則OD⊥CD
又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴CD是⊙O的切線
2.(廣東 ) ⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過(guò) 的中點(diǎn)P作⊙O的直徑PG交弦BC于點(diǎn)D，連接AG， CP，PB.
(1) 如題24?1圖；若D是線段OP的中點(diǎn)，求∠BAC的度數(shù)；
(2) 如題24?2圖，在DG上取一點(diǎn)k，使DK=DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；
(3) 如題24?3圖；取CP的中點(diǎn)E，連接ED并延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)H，連接PH，求證：PH⊥AB.
【解析】(1) ∵AB為⊙O直徑， ，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，
∵D為OP的中點(diǎn)，
∴OD= ，
∴cos∠BOD= ，
∴∠BOD=60°，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
(2) 由（1）知，CD=BD，
∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，
∴△PDB≌△CDK，
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
又∠G=∠OBP，
∴AG∥CK，
∴四邊形AGCK是平行四邊形；
(3) ∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，即DH∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG，
∴DH∥AG，
∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH，
又∠ODB=∠HOP，OB=OP，
∴△OBD≌△HOP，
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH⊥AB.
3.（廣東梅州）如圖，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（0，3）．
（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．.
分析：（1）把點(diǎn)A（4，0），B（0，3）代入直線l的解析式y(tǒng)=kx+b，即可求出結(jié)果．
（2）先畫(huà)出示意圖，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM，繼而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（0，3），
∴設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，
∴
∴ ．
∴直線l的解析式為：y=? x+3；
（2）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
①如圖所示，此時(shí)⊙M與此直線l相切，切點(diǎn)為C，
連接MC，則MC⊥AB，
在Rt△ABM中，sin∠BAM= = ，
在Rt△AMC中，∵sin∠MAC= ，
∴AM= = =4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）．
②此時(shí)⊙M'與此直線l相切，切點(diǎn)為C'，
連接M'C'，則M'C'⊥AB，
∴∠M′C′B=∠MCB=90°，
在△M′C′B與△CMB中，
，
∴BM'=BM=3，
∴點(diǎn)M'的坐標(biāo)為（0，6）．
綜上可得：當(dāng)⊙M與此直線l相切時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，0），（0，6）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫(huà)出示意圖，熟練掌握切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般．
4.(廣東梅州 ) 在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．
（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于 ，線段CE1的長(zhǎng)等于 ；（直接填寫(xiě)結(jié)果）
（2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；
（3）①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長(zhǎng)為 ；②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為 ．（直接填寫(xiě)結(jié)果）
考點(diǎn)：幾何變換綜合題．.
分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD1的長(zhǎng)和CE1的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，進(jìn)而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）①直接利用直角三角形的性質(zhì)得出PM= BC得出答案即可；
②首先作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，則D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，
此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，進(jìn)而求出PG的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），
∴當(dāng)α=90°時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1= =2 ，E1C= =2 ；
故答案為：2 ，2 ；
（2）證明：當(dāng)α=135°時(shí)，如圖2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵ ，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
記直線BD1與AC交于點(diǎn)F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點(diǎn)為M，
∴PM= BC，
∴PM= =2 ，
故答案為：2 ；
②如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，
∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，
此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則BD1= =2 ，
故∠ABP=30°，
則PB=2+2 ，
故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+ ．
故答案為：1+ ．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何變換以及等腰腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出PG的最長(zhǎng)時(shí)P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．
5.（安順）如圖，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。
(1)求證：直 線EF是⊙O的切線；
(2)求 的值。
（1）（6分）證明：連接OD、CD。
∵BC是直徑，∴CD⊥AB
∵AB=BC. ∴D是AB的中點(diǎn)。又O為CB的中點(diǎn)，
∴OD∥EF，EF,是⊙O的切線。
（2）（6分）解：連BG�！連C是直徑，∴∠BGC=90°。
在Rt△BCD中， .
∵ .
∵BG⊥AC,DF⊥AC
∴BG∥EF, ∴∠E=∠CBG,
∴
6.（河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上
不與點(diǎn)A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BP到點(diǎn)C，使
PC=PB，D是AC的中點(diǎn)，連接PD，PO.
（1）求證：△CDP∽△POB；
（2）填空：
① 若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為 ；
② 連接OD，當(dāng)∠PBA的度數(shù)為 時(shí)，四邊形BPDO是菱形.
(1)略；（2）① 最大面積為4. ② 60°
7.（湖北濱州）如圖,⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為10，弦AC的長(zhǎng)為5，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D.
（1）求弧BC的長(zhǎng)；
（2）求弦BD的長(zhǎng).
解：（1）連接OC. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC= ,∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC =120°.
∴弧BC的長(zhǎng)為 .
（2）連接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°.
在Rt△ABD中，BD= .
（其它解法，酌情判分）
8.（常德）已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC＝60°，求AD的長(zhǎng)。
【解答與分析】本題考點(diǎn)，主要是切線的判定，中位線的性質(zhì)，以及特殊直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理。
證明：（1）連接FO
易證OF∥AB
∵AC⊙O的直徑
∴CE⊥AE
∵OF∥AB
∴OF⊥CE
∴OF所在直線垂直平分CE
∴FC＝FE，OE＝OC
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE
∵Rt△ABC
∴∠ACB＝90°
即：∠0CE＋∠FCE＝90°
∴∠0EC＋∠FEC＝90°
即：∠FEO＝90°
∴FE為⊙O的切線
（2）
∵⊙O的半徑為3
∴AO＝CO＝EO＝3
∵∠EAC＝60°，OA＝OE
∴∠EOA＝60°
∴∠COD＝∠EOA＝60°
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3
∴CD＝
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD＝ ，AC＝6
∴AD＝
9.（湖南衡陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出△ABC關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得圖中的△AB2C2，
點(diǎn)C2在AB上．
①旋轉(zhuǎn)角為多少度？
②寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．
解：（1）△ABC關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1如圖所示；
（2）①由圖可知，旋轉(zhuǎn)角為90°；
②點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（6，2）．
10.（湖南衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說(shuō)明理由．
解：（1）證明：連接OD，∵點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)，
∴∠BOC＝ ∠BOD
又∠BAD＝ ∠BOD
∴∠BOC＝∠BAD
∴AE∥OC
∵AD⊥EC
∴OC⊥EC
∴CE為⊙O的切線．
（2）四邊形AOCD是菱形；理由如下：
∵點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)
∴∠AOD＝∠COD＝60°
∵OA＝OD＝OC
∴△AOD和△COD都是等邊三角形
∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD
∴四邊形AOCD是菱形．
11.（無(wú)錫）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求圖中陰影部分的面積．
解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90º．
∵BC＝6 cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm．∴OB＝5cm．
連OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45 º．∴∠BOD＝90º． ∴BD＝OB2＋OD2＝52cm．
（2）S陰影＝90360π•52－12×5×5＝25π－504cm2．
12（江西）⊙O為△ABC的外接圓，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1，圖2中畫(huà)出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)．
(1)如圖1，AC＝BC；
(2)如圖2，直線l與⊙O相切與點(diǎn)P，且l∥BC．
解析：如右圖所示.
圖1，∵AC=BC,∴ ,
∴點(diǎn)C是 的中點(diǎn)，連接CO，
交AB于點(diǎn)E，由垂徑定理知，
點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)D，
則CD為所求作的弦；
圖2，∵l切⊙O于點(diǎn)P, 作射線PO，交BC于點(diǎn)E，則PO⊥l, ∵l∥BC , ∴PO⊥BC, 由垂徑定理知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE交⊙O于F，則AF為所求作的弦.
13.（呼和浩特）)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O外的一點(diǎn)，AM是⊙O的直徑，∠PAC=∠ABC
(1) 求證：PA是⊙O的切線；
(2) 連接PB與AC交于點(diǎn)D，與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)為BD上的一點(diǎn)，若M為BC⌒的中點(diǎn)，且∠DCF=∠P，求證：BDPD = FDED = CDAD .
證明：(1) 連接CM
∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC
∴∠PAC=∠M
∵AM為直徑
∴∠M+∠MAC=90°
∴∠PAC+∠MAC=90°
即：∠MAP=90°
∴MA⊥AP
∴PA是⊙O的切線
(2) 連接AE
∵M(jìn)為BC⌒中點(diǎn)，AM為⊙O的直徑
∴AM⊥BC
∵AM⊥AP
∴AP∥BC
∴△ADP∽△CDB
∴BDPD = CD AD
∵AP//BC
∴∠P=∠CBD
∵∠CBD=∠CAE
∴∠P=∠CAE
∵∠P=∠DCF
∴∠DCF=∠CAE
∵∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽ △CDF
∴CDDA = FDED
∴BDPD = FDED = CDAD
14.（黔西南州）如圖9所示，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C.
（1）求證：直線PB與⊙O相切
（2）PO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，PC=4.
求弦CE的長(zhǎng)．
（1）證明:過(guò)點(diǎn)O作OD⊥PB,連接OC.
∵AP與⊙O相切, ∴OC⊥AP.
又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC.
∴PB是⊙O的切線.
（2）解:過(guò)C作CF⊥PE于點(diǎn)F.
在Rt△OCP中，OP=
∵
∴
在Rt△COF中，
∴
在Rt△CFE中，
14（東營(yíng)）已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點(diǎn)，E是OB的中點(diǎn)，當(dāng)BC=2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
（1）證明：連接DE
∵AE是直徑
∴∠ADE=90o
∴∠ADE=∠ABC
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角
故△ADE∽△ABC………………………………2分
則 ，即AC•AD=AB•AE…………4分
（2）解：連接OD
∵BD是圓O的切線
則OD⊥BD……………………………………………………………………5分
在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD
∴∠OBD=30o…………………………………………………………………6分
同理∠BAC=30o………………………………………………………………7分
在Rt△ABC中AC=2BC=2×2=4……………………………………………8分
15（瀘州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F。
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的長(zhǎng)。
考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；平行四邊形的判定．.
分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠EAC=∠ABC，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等量代得到∠EAC=∠ACB，從而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行的判定得到AE∥BC，結(jié)合已知AB∥CD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）作輔助線，連接AO，交BC于點(diǎn)H，雙向延長(zhǎng)OF分別交AB，CD于點(diǎn)N，M，根據(jù)切割線定理求得EC=4，證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性、圓周角定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用證明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．
解答：（1）證明：∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）解：如圖，連接AO，交BC于點(diǎn)H，雙向延長(zhǎng)OF分別交AB，CD與點(diǎn)N，M，
∵AE是⊙O的切線，
由切割線定理得，AE2=EC•DE，
∵AE=6，CD=5，
∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去負(fù)數(shù)），
由圓的對(duì)稱(chēng)性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，
又根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和垂徑定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
設(shè)OF=x，OH=Y，F(xiàn)H=z，
∵AB=4，BC=6，CD=5，
∴BF= BC?FH=3?z，DF=CF= BC+FH=3+z，
易得△OFH∽△DMF∽△BFN，
∴ ， ，
即 ，①
②，
①+②得： ，
①÷②得： ，
解 得 ，
∵x2=y2+z2，
∴ ，
∴x= ，
∴OF= ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，相似判定和性質(zhì)，勾股定理，正確得作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16. （杭州）如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′•OP=r2，則稱(chēng)點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”，如圖2，⊙O的半徑為4，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，求A′B′的長(zhǎng).
【答案】解：∵⊙O的半徑為4，點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上， OA=8，
∴ ，即 .
∴ .∴點(diǎn)B的反演點(diǎn)B′與點(diǎn)B重合.
如答圖，設(shè)OA交⊙O于點(diǎn)M，連接B′M，
∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等邊三角形.
∵ ，∴B′M⊥OM.
∴在 中，由勾股定理得 .
【考點(diǎn)】新定義；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理.
【分析】先根據(jù)定義求出 ，再作輔助線：連接點(diǎn)B′與OA和⊙O的交點(diǎn)M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等邊三角形，從而在 中，由勾股定理求得A′B′的長(zhǎng).
17 （2015年浙江麗水8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O 的切線DF，交AC于點(diǎn)F.
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積.
【答案】解：（1）證明：如答圖，連接OD，
∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB.
∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD
∴DF⊥AC.
（2）如答圖，連接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°.
∵OA=OB，∴∠AOE=90°.
∵⊙O的半徑為4，∴ .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；平行的判定；切線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；扇形和三角形面積的計(jì)算；轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.
【分析】（1）要證DF⊥AC，由于DF是⊙O的切線，有DF⊥OD，從而只要OD∥AC即可，根據(jù)平行的判定，要證OD∥AC即要構(gòu)成同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，從而需作輔助線連接OD，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)由∠ABC=∠ODB和∠ABC=∠ACB即可得.
（2）連接OE，則 ，證明△AOE是等腰直角三角形即可求得 和 .
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