1．已知全集 ，集合 ，集合 則 = （ ）
A． B． C. D．
2．設(shè) 為虛數(shù)單位，若 復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)，則實數(shù) 的值為（ ）
A. B. C. D.
3．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D.
4．設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ，已知首項 ，且對任意正整數(shù) 都有 ，若 恒成立，則實數(shù) 的最小值為（ ）
A. B. C. D.
5．已知 為銳角三角形，若角 終邊上一點 的坐標為（ ），則 =
的值為 （ ）
A． B． C． D．與 的大小有關(guān)
6． 給出下列四個命題：
①已知函數(shù) 則 的圖像關(guān)于直線 對稱；
②平面內(nèi)的動點 到點 和到直線 的距離相等，則點 的軌跡是拋物線；
③若向量 滿足 則 與 的夾角為鈍角；
○4存在 使得 成立，其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知點 是曲線 上的任意一點，直線 與雙曲線 的漸近線交于 兩點，
若 為坐標原點），則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
8. 若平面直角坐標系中兩點 與 滿足：○1 、 分別在函數(shù) 的圖像上；○2 與 關(guān)于點（ ）對稱，則稱點對（ ）是一個“相望點對”（規(guī)定：（ ）與（ ）是同一個“相望點對”），函數(shù) 與 的圖像中“相望點對”的個數(shù)是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9. 已知函數(shù) ，
設(shè) 且函數(shù) 的零點在區(qū)間 或 內(nèi)，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
10.在函數(shù) 的圖像與 軸所圍成的圖形中，直線 從點 向右平行移動至 ， 在移動過程中掃過平面圖形（圖中陰影部分）的面積為 ，則 關(guān)于 的函數(shù) 的圖像可表示為（ ）
第II卷
二、題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
11．“求方程 的解”有如下解題思路：設(shè) ，因為 在 上單調(diào)遞減，且 所以原方程有唯一解為 類比上述解題思路，不等式 的解集為 .
12．隨機輸入整數(shù) 執(zhí)行如右圖所示的程序框圖， 則輸出的 不小于39的概率為 .
13．已知點 是面積為1的 內(nèi)一點（不含邊界），若
的面積分別為 則 的最小值為 .
14. 若數(shù)列 滿足： ，
則稱數(shù)列 為“正弦數(shù)列”，現(xiàn)將 這五個數(shù)排成一個“正弦數(shù)列”，所有排列種數(shù)記 為 ，則二項式 的展開式中含 項的系數(shù)為 ．
三、選做題：請在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，按第一題評閱計分，本題共5分.
15.（1）（坐標系與參數(shù)方程選做題）以平面直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，并取相等
的長度單位建立極坐標系，若直線 與曲線 ( 為參數(shù))相交于 兩點，則線段 長度為_________.
（2）（不等式選做題）若存在實數(shù) ，使不等式 成立,則實數(shù) 的取值范圍為_________.
四、解答題:本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
在 中，三個內(nèi)角 所對的邊分別為 ，滿足 ．
（1）求角 的大��；
（2）求 的最大值，并求取得最大值時角 的大小．
17.（本小題滿分12分）
某中學(xué)為了增強學(xué)生對消防安全知識的了解，舉行了一次消防知識競賽，其中一道題是連線題，要求將4種不同的消防工具與它們的4種不同的用途一對一連線，規(guī)定：每連對一條得10分，連錯一條得-5分，某參賽者隨機用4條線把消防工具與用途一對一全部連接起來.
(1)求該參賽者恰好連對一條的概率；
(2)設(shè) 為該參賽者此題的得分，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
18.（本小題滿分12分）
如圖所示，在邊長為3的等邊 中，點 分別是邊 上的點，且滿足 現(xiàn)將 沿 折起到 的位置，使二面角 成直二面角，連結(jié) .
（1）求證： ；
（2）在線段 上是否存在點 ，使直線 與平面 所成的角為 ？
若存在，求出 的長；若不存在，請說明理由.
19.（本小題滿分12分）
已知數(shù)列 具有性質(zhì)：○1 為整數(shù)；○2對于任意的正 整數(shù) 當(dāng) 為偶數(shù)時， 當(dāng) 為奇數(shù)時， ．
（1）若 為偶數(shù)，且 成等差數(shù)列，求 的值；
（2）若 為正整數(shù)，求證：當(dāng) 時，都有 ．
20.（本小題滿分13分）
定義：在平面直角坐標系中，以原點為圓心，以 為半徑的圓 為橢圓 的“準圓”.已知橢圓 的離心率為 ，直線 與橢圓 的“準圓”相切.
(1) 求橢圓 的方程；
(2) 設(shè)點 是橢圓 的“準圓”上的一個動點，過動點 作斜率存在且不為 的兩條不同的直線 ， 使得 ， 與橢圓都相切，試判斷 與 是否垂直？并說明理由.
21.（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ， ，設(shè)
（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若以函數(shù) 圖像上任一點 為切點的切線斜率為 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍；
（3）當(dāng) 時，對任意的 ，且 ，已知存在 使得 ，求證：
參考答案
1-5 CDBBC 6- 10 CACBD
（9分）
當(dāng) 即 時， 的最大值為 ，此時
的最大值為 ，取得最大值時， （12分）
17、解：（1） （4分）
的分布列為
（10分）
（12分）
18、解：（1） 等邊三角形ABC的邊長為3，且 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
，折疊后有 （3分）
二面角 為直二面角， 平面 平面
又 平面 平面 ， 平面 ，
平面 （5分）
（2）假設(shè)在線段 上存在點 ，使得直線 與平面 所成的角為 由（1）證明，
可知 ， ，以 為坐標原 點，以射線 分別為 軸， 軸， 軸的正半軸，建立空間直角坐標系 ，如圖過點 作 ，垂足為 ，連接
設(shè) ，則
（7分）
， 的一個法向量為 （9分）
與 所成的角為
，解得 （11分）
，滿足 ，符合題意
在線段 上存在點 ，使得直線 與平面 所成的角為 ，此時 （12分）
19、解：（1）設(shè) ， 成等差數(shù)列， （2分）
○1當(dāng) 為偶數(shù)時， 此時 （4分）
○1當(dāng) 為奇數(shù)時， 此時
綜合上述，可得 的值為 或 （6分）
（2） ， ， （7分）
又由定義可知， ， （9分）
綜上可知，當(dāng) 時，都有 （12分）
（2）由（1）知橢圓 的“準圓”方程為
設(shè)點 ，則 （7分）
設(shè)經(jīng)過點 與橢 圓 相切的直線為
聯(lián)立 消去 ，得
由 ，化簡得 （10分）
設(shè)直線 的斜率分別為 .
直線 ， 與橢圓 相切
滿足方程
，故直線 與 垂直 (13分)
21、解：（1）由題意可知
（1分）
○1當(dāng) 時， 在 上恒成立 的增區(qū)間為
○2當(dāng) 時，令 得 ；令 得
的增區(qū)間為 減區(qū)間為
綜合上述可得：當(dāng) ，增區(qū)間為 ；
當(dāng) 時，增區(qū)間為 減區(qū)間為 （4分）
在 上是減函數(shù)，即 在 上是減函數(shù)
要證 ，只需證 ，即證
對任意 ，存在 使得
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