2013中考全國(guó)120份試卷分類匯編
操作與探究
1、（13年北京5分22）下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BG=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形NPQ的面積。
小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，F(xiàn)，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）
請(qǐng)回答：
（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無(wú)縫隙，不重疊），則這個(gè)新的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_________；
（2）求正方形NPQ的面積
參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若 ，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_________。
解析：
考點(diǎn)：操作與探究（旋轉(zhuǎn)、從正方形到等邊三角形的變式、全等三角形）
2、（2013成都市）如圖， ，為⊙ 上相鄰的三個(gè) 等分點(diǎn)，弧 ，點(diǎn) 在弧 上， 為⊙ 的直徑，將⊙ 沿 折疊，使點(diǎn) 與 重合，連接 ， ， .設(shè) ， ， .先探究 三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當(dāng) 時(shí)， .請(qǐng)繼續(xù)探究 三者的數(shù)量關(guān)系：
當(dāng) 時(shí)， _______；當(dāng) 時(shí)， _______.
（參考數(shù)據(jù)： ，
）
3、（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)。
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。
①作∠DAC的平分線A。②連接BE并延長(zhǎng)交A于點(diǎn)F。
【解析】解：①作圖正確，并有痕跡。
②連接BE并延長(zhǎng)交A于點(diǎn)F。
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。
【解析】解：AF∥BC且AF=BC
理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C
由作圖可知：∠DAC=2∠FAC
∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.
∵E是AC的中點(diǎn)， ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC.
4、（13年山東青島、23）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式
這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化。
【研究速算】
提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（ 1）畫(huà)長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的
矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43
的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形
面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋
3×7＝2021
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，
再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述） ____________________
【研究方程】
提出問(wèn)題：怎么圖解一元二次方程
幾何建模：
（1）變形：
（2）畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為 ，寬為 的矩形，構(gòu)造圖④
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式， 或四個(gè)長(zhǎng) ，寬 的矩形之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積
∵
∴
歸納提煉：求關(guān)于 的一元二次方程 的解
要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）
【研究不等關(guān)系】
提出問(wèn)題：怎么運(yùn)用矩形面積表示 與 的大小關(guān)系（其中 ）？
幾何建模：
（1）畫(huà)長(zhǎng) ，寬 的矩形，按圖⑤方式分割
（2）變形：
（ 3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為
；陰影部分面積可以表示為 ，
畫(huà)點(diǎn)部分的面積可表示為 ，由圖形的部分與整體
的關(guān)系可知： ＞ ，即
＞
歸納提煉：
當(dāng) ， 時(shí)，表示 與 的大小關(guān)系
根據(jù)題意，設(shè) ， ，要求參照上 述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）
解析：
5、(2013年江西省)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：
●操作發(fā)現(xiàn)：
在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，是BC的中點(diǎn)，連接D和E，則下列結(jié)論正確的是 （填序號(hào)即可）
①AF=AG= AB；②D=E；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④∠DAB=∠DB．
●數(shù)學(xué)思考：
在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，是BC的中點(diǎn)，連接D和E，則D和E具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；
●類比探索：
在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，是BC的中點(diǎn)，連接D和E，試判斷△ED的形狀．
答： ．
【答案】 解：
●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④
●數(shù)學(xué)思考：
答：D=E，D⊥E，
１、D=E；
如圖2，分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接DF，F(xiàn)，G，EG，
∵是BC的中點(diǎn)，
∴F∥AC，F(xiàn)= AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，
∴EG⊥AC且EG= AC，
∴F=EG．
同理可證DF=G．
∵F∥AC，
∴∠FA＋∠BAC=180°．
同理可得∠GA+∠BAC=180°，
∴∠FA=∠GA．
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°，
∴∠FA+∠DFA=∠GA=∠EGA，
即∠DF=∠EG，又F=EG，DF=G，
∴△DF≌△GE（SAS），
∴D=E．
2、D⊥E；
證法一：∵G∥AB，
∴∠FA+∠FG=180°，
又∵△DF≌△GE，∴∠EG=∠DF.
∴∠FA+∠FD+∠DE+∠DF=180°，
其中∠FA+∠FD+∠DF=90°，
∴∠DE=90°.
即D⊥E；
證法二：如圖2，D與AB交于點(diǎn)H，
∵AB∥G，
∴∠DHA=∠DG，
又∵∠DHA=∠FD+∠DFH,
即∠DHA=∠FD+90°,
∵∠DG=∠DE+∠GE，
∴∠DE=90°
即D⊥E；
●類比探究
答：等腰直角三解形
【考點(diǎn)解剖】 本題考查了軸對(duì)稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識(shí)，能力要求很高．
【解題思路】 （1） 由圖形的對(duì)稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DB=45°也正確；（2）直覺(jué)告訴我們D和E是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1△DF≌△GE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來(lái)證D=E，證D⊥E就是要證∠DE=90°，由△DF≌△GE得∠EG=∠DF, △DF中四個(gè)角相加為180°，∠FG可看成三個(gè)角的和，通過(guò)變形計(jì)算可得∠DE=90°． （3）只要結(jié)論，不要過(guò)程，在（2）的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形.
【解答過(guò)程】 略.
【方法規(guī)律】 由特殊到一般，形變但本質(zhì)不變（仍然全等）
【關(guān)鍵詞】 課題學(xué)習(xí) 全等 開(kāi)放探究
6、（2013山西，25，13分）（本題13分）數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：
如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。
求重疊部分（△DCG）的面積。
（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。
【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點(diǎn),
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC
又∵DC=DA,∴G是AC的中點(diǎn),
∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3
∴SDCG= ×CG•DG= ×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫出解答過(guò)程。
【解析】解法一：
∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD= AB=5
在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴ = , = ,∴DH= ,
∴S△DGH＝ S△ADH＝ × ×DH•AD= × ×5=
解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)，
連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點(diǎn)，∴AH=BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=
∴S△ABH=AH•BC= × ×6=
∴S△ＤＧＨ= S△ADH= × S△ABH= × = .
解法三：同解法一，∠1=∠2
連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,
作D⊥AC于點(diǎn)，CN⊥AB于點(diǎn)N，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD，∴點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，∴D= BC= ×6=3
在Rt△ABC中，AB= =10， AC•BC= AB•CN，
∴CN＝ .
∵△DGH∽△BDC, ∴ ,
∴ =
∴
（3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題�！皭�(ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)，N，使D=N求重疊部分(△DN)的面積、
任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題，直接寫出△DN的面積是
②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題，并在圖中畫(huà)出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）。
【答案】①
②注：此題答案不唯一，語(yǔ)言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得1分，畫(huà)圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DCN）的面積。
7、（2013達(dá)州）通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的。下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整。
FF
原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說(shuō)明理由。
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線。
根據(jù)__SAS__________，易證△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系_互補(bǔ)___時(shí)，仍有EF=BE+DF。
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過(guò)程。
解：BD2+EC2=DE2
解析：(1)SAS………………………(1分）
△AFE………………………(2分）
(2)∠B+∠D=180°………………………(4分）
(3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分）
∵AB=AC，
∴把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合.
∵△ABC中，∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.
∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分）
在△AEG與△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG.又∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）
8、（2013陜西壓軸題）問(wèn)題探究
（1）請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；
（2）如圖②，是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由.
問(wèn)題解決
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB= ，CD= ，且 ，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.
考點(diǎn)：本題陜西近年來(lái)考查的有：折疊問(wèn)題，勾股定理，矩形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，面積問(wèn)題及最值問(wèn)題，位似的性質(zhì)應(yīng)用等。此題考查對(duì)圖形的面積等分問(wèn)題。
解析：此題主要考查學(xué)生的問(wèn)題的能力，綜合問(wèn)題的能力，動(dòng)手操作能力，問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，分析圖形能力和知識(shí)的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過(guò)渡，從特殊中發(fā)現(xiàn)關(guān)系到一般的知識(shí)遷移的過(guò)程。
（1）問(wèn)較易解決，圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達(dá)到目的。
（2）問(wèn)中其實(shí)在八年級(jí)學(xué)習(xí)四邊形時(shí)好可解決此類問(wèn)題。平行四邊形過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個(gè)部分。而在正方形中就更特殊，常見(jiàn)的是將正方形重疊在一起旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識(shí)的積累足夠解決。
（3）問(wèn)中可以考慮構(gòu)造（1）（2）中出現(xiàn)的特殊四邊形來(lái)解決。也可以用中點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)解決。在中學(xué)數(shù)學(xué)中中點(diǎn)就有兩個(gè)方面的應(yīng)用，一是中線（倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形或者是平行四邊形）二是中位線的應(yīng)用。
解：（1）如圖①所示．
（2）如圖②，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線O分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作用O的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線O、EF將正方形ABCD的面積四等分.
理由如下：
∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心
∴AP=CQ，EB=DF，
D在△AOP和△EOB中，
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE
∴∠AOP=∠BOE
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB
∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD
設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為 .
∴
∴
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分
另解：∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是正方形ABCD的中心
∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45°
∵PQ⊥EF，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=90°
∴∠POA=∠DOF同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ
∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF
∴
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分
（3）
存在.當(dāng)BQ=CD= 時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分.
理由如下：如圖③，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE= ，
延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF= ，連接EF.
∴BE∥CF，BE=CF ∴四邊形BCFE為平行四邊形，
∵BC=BE= + ，∴平行四邊形DBFE為菱形
連接BF交AD于點(diǎn)，則△AB≌△DF
∴A=D.即點(diǎn)P、重合.
∴點(diǎn)P是菱形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，
在BC上截取BQ=CD= ，則CQ=AB= .
設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為
∴
所以當(dāng)BQ= 時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.
另解：存在.當(dāng)BQ=CD= 時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分.
理由如下：如圖④，連接BP并延長(zhǎng)BP交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CP
∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴PA=PD
∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DFP，∵∠APB=∠DPF ∴△APB≌△DPF
∴AB=DF，PB=PF，所以CP是△CBF的中線，∴
∵AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，∴∠CBF=∠CFB
∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分線.
∴點(diǎn)P到AB與CB的距離相等，
∵BQ= ，所以CQ=AB=
∴
∴
所以當(dāng)BQ= 時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/chusan/244923.html
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